A B. 4435. feladat (2012. március)

B. 4435. A hegyesszögű ABC háromszög A csúcsból induló magasságának talppontja T, BC oldalának felezőpontja F. Az AB és AC oldalakra kifelé írt négyzetek középpontja pedig K, illetve L. Igazoljuk, hogy KTFL húrnégyszög.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(4 pont)

A beküldési határidő 2012. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Kicsit pontosabban azt igazoljuk, hogy a $\displaystyle K$, $\displaystyle T$, $\displaystyle F$, $\displaystyle L$ pontok egy körön vannak. Ha $\displaystyle AB=AC$, akkor $\displaystyle F$ és $\displaystyle T$ egybeesik, az állítás pedig nyilvánvaló. Szimmetria okok miatt feltehetjük, hogy $\displaystyle AB<AC$, azzal a megjegyzéssel, hogy az $\displaystyle AC>AB$ esetben a $\displaystyle KFTL$ négyszög lesz húrnégyszög.

Mivel az $\displaystyle AKB$ és az $\displaystyle ATB$ szög is derékszög, az $\displaystyle AKBT$ négyszög húrnégyszög, és így $\displaystyle ATK\angle=ABK\angle=45^\circ$. Hasonlóképpen kapjuk, hogy $\displaystyle ATL\angle=ACL\angle=45^\circ$, vagyis $\displaystyle KTL\angle=ATK\angle+ATL\angle=90^\circ$. Már csak azt kell megmutatni, hogy a $\displaystyle KFL$ szög is derékszög.

Az $\displaystyle AB$, illetve $\displaystyle AC$ oldal felezőpontját jelölje rendre $\displaystyle D$ és $\displaystyle E$. Az $\displaystyle EF$ szakasz az $\displaystyle ABC$ háromszög $\displaystyle AB$-vel párhuzamos középvonala, hossza megegyezik a $\displaystyle DK$ szakaszéval, amely viszont $\displaystyle AB$-re merőleges. Hasonlóképpen $\displaystyle DF$ és $\displaystyle EL$ is egymásra merőleges egyenlő hosszúságú szakaszok. Ezenfelül

$\displaystyle KDF\angle=KDB\angle+BDF\angle=90^\circ+BAC\angle=CEL\angle+FEC\angle=FEL\angle.$

Ez azt jelenti, hogy $\displaystyle KDF$ és $\displaystyle FEL$ olyan egybevágó háromszögek, melyekben az egymásnak megfelelő oldalak egymásra merőlegesek. Következésképpen az $\displaystyle FL$ szakasz is merőleges a $\displaystyle KF$ szakaszra.

Statisztika:

70 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	62 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2012. márciusi matematika feladatai