 |
A B. 4435. feladat (2012. március) |
B. 4435. A hegyesszögű ABC háromszög A csúcsból induló magasságának talppontja T, BC oldalának felezőpontja F. Az AB és AC oldalakra kifelé írt négyzetek középpontja pedig K, illetve L. Igazoljuk, hogy KTFL húrnégyszög.
Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)
(4 pont)
A beküldési határidő 2012. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Kicsit pontosabban azt igazoljuk, hogy a \(\displaystyle K\), \(\displaystyle T\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle L\) pontok egy körön vannak. Ha \(\displaystyle AB=AC\), akkor \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle T\) egybeesik, az állítás pedig nyilvánvaló. Szimmetria okok miatt feltehetjük, hogy \(\displaystyle AB<AC\), azzal a megjegyzéssel, hogy az \(\displaystyle AC>AB\) esetben a \(\displaystyle KFTL\) négyszög lesz húrnégyszög.
Mivel az \(\displaystyle AKB\) és az \(\displaystyle ATB\) szög is derékszög, az \(\displaystyle AKBT\) négyszög húrnégyszög, és így \(\displaystyle ATK\angle=ABK\angle=45^\circ\). Hasonlóképpen kapjuk, hogy \(\displaystyle ATL\angle=ACL\angle=45^\circ\), vagyis \(\displaystyle KTL\angle=ATK\angle+ATL\angle=90^\circ\). Már csak azt kell megmutatni, hogy a \(\displaystyle KFL\) szög is derékszög.
Az \(\displaystyle AB\), illetve \(\displaystyle AC\) oldal felezőpontját jelölje rendre \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\). Az \(\displaystyle EF\) szakasz az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AB\)-vel párhuzamos középvonala, hossza megegyezik a \(\displaystyle DK\) szakaszéval, amely viszont \(\displaystyle AB\)-re merőleges. Hasonlóképpen \(\displaystyle DF\) és \(\displaystyle EL\) is egymásra merőleges egyenlő hosszúságú szakaszok. Ezenfelül
\(\displaystyle KDF\angle=KDB\angle+BDF\angle=90^\circ+BAC\angle=CEL\angle+FEC\angle=FEL\angle.\)
Ez azt jelenti, hogy \(\displaystyle KDF\) és \(\displaystyle FEL\) olyan egybevágó háromszögek, melyekben az egymásnak megfelelő oldalak egymásra merőlegesek. Következésképpen az \(\displaystyle FL\) szakasz is merőleges a \(\displaystyle KF\) szakaszra.
Statisztika:
70 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 62 versenyző. 3 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2012. márciusi matematika feladatai