 |
A B. 4439. feladat (2012. március) |
B. 4439. A sík egymástól különböző B és C pontjaihoz határozzuk meg azon A pontok mértani helyét, amelyekre az ABC háromszög A-hoz tartozó magassága mértani közepe a BC+AC és BC-AC szakaszoknak.
(3 pont)
A beküldési határidő 2012. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Vegyünk fel egy derékszögű koordinátarendszert, melynek középpontja \(\displaystyle C\), a \(\displaystyle B\) pont koordinátái pedig \(\displaystyle (1;0)\). Ha az \(\displaystyle A\) pont koordinátái \(\displaystyle (x;y)\), ahol \(\displaystyle y\ne 0\), akkor az \(\displaystyle A\)-hoz tartozó magasság \(\displaystyle M\) talppontja az \(\displaystyle (x;0)\) pont. Ekkor \(\displaystyle BC=1\), \(\displaystyle AM=y\) és \(\displaystyle AC^2=x^2+y^2\), vagyis az \(\displaystyle AM^2=(BC+AC)(BC-AC)\) feltétel ekvivalens az \(\displaystyle y^2+(x^2+y^2)=1\) feltétellel. Ezek szerint a mértani hely egyenlete \(\displaystyle x^2+2y^2=1\) (\(\displaystyle y\ne 0\)), vagyis a \(\displaystyle B\) pontnak a \(\displaystyle C\)-re vett tükörképét \(\displaystyle B'\)-vel jelölve, a mértani hely az a nagytengelye végpontjaitól megfosztott ellipszis, melynek nagytengelye a \(\displaystyle BB'\) szakasz, kistengelyének hossza pedig a nagytengely hosszának \(\displaystyle 1/\sqrt{2}\) része.
Statisztika:
62 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: Ágoston Péter, Babik Bálint, Balogh Tamás, Bingler Arnold, Bősze Zsuzsanna, Czipó Bence, Di Giovanni Márk, Emri Tamás, Énekes Tamás, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Győrfi 946 Mónika, Janzer Barnabás, Kabos Eszter, Katona Dániel, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács-Deák Máté, Maga Balázs, Makk László, Mócsy Miklós, Nagy Bence Kristóf, Nagy-György Pál, Onódi Péter, Sagmeister Ádám, Schultz Vera Magdolna, Somogyvári Kristóf, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Tardos Jakab, Tóth Balázs, Varga 911 Szabolcs, Weimann Richárd, Weisz Ambrus, Wiandt Zsófia, Zahemszky Péter, Zsiros Ádám. 2 pontot kapott: Géczi Péter Attila, Lezsák Gábor, Papp Roland. 1 pontot kapott: 10 versenyző. 0 pontot kapott: 12 versenyző.
A KöMaL 2012. márciusi matematika feladatai