Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4447. feladat (2012. április)

B. 4447. Oldjuk meg a $\sqrt{x-3} + \sqrt{x^2-4x+3} = \sqrt{{(x-2)}^3}$ egyenletet.

(4 pont)

A beküldési határidő 2012. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az y=x-2 helyettesítéssel az egyenlet $\sqrt{y-1}+\sqrt{y^2-1}=\sqrt{y^3}$ alakra hozható. A gyökös kifejezések pontosan akkor lesznek mind értelmesek, ha y $\ge$ 1; ekkor mindkét oldal nemnegatív. Az y $\ge$ 1 feltétel mellett az egyenlet ekvivalens a négyzetreemelésével kapott

$(y-1)+(y^2-1)+2\sqrt{(y-1)(y^2-1)}=y^3$

egyenlettel. Vezessük be a $z=\sqrt{(y-1)(y^2-1)}=\sqrt{y^3-y^2-y+1}$ változót, erre nézve a fenti egyenlet a z²-2z+1=0 alakra hozható, vagyis z=1. Ez azt jelenti, hogy az y³-y²-y+1=1, vagyis az y(y²-y-1)=0 egyenletet kell megoldanunk az y $\ge$ 1 feltétel mellett. Ennek megoldása $y=(1+\sqrt{5})/2$ , ahonnan $x=y+2=(5+\sqrt{5})/2$ .

Statisztika:

97 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: 80 versenyző.

3 pontot kapott: 3 versenyző.

2 pontot kapott: 6 versenyző.

1 pontot kapott: 7 versenyző.

0 pontot kapott: 1 versenyző.

A KöMaL 2012. áprilisi matematika feladatai

97 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	80 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.