A B. 4449. feladat (2012. április)

B. 4449. Hány nullára végződik a 4^5⁶+6^5⁴ tízes számrendszerbeli alakja?

(4 pont)

A beküldési határidő 2012. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Vizsgáljuk meg, hogy az adott szám 5-nek hanyadik hatványával osztható. A binomiális tétel alapján

$4^{5^6}+6^{5^4}=(5-1)^{5^6}+(5+1)^{5^4}= \sum_{i=0}^{5^6}\binom{5^6}{i}5^i(-1)^{5^6-i}+ \sum_{i=0}^{5^4}\binom{5^4}{i}5^i.$

Az első összeg első tagja (i=0 eset) -1, míg a második összeg első tagja +1, így ezek kiejtik egymást. A második tagok (i=1 eset) összege

5⁶^.5+5⁴^.5=5⁵^.26,

ami osztható 5⁵-nel, de nem osztható 5⁶-nal.

Megmutatjuk, hogy i $\ge$ 2 esetén $\binom{5^6}{i}5^i(-1)^{5^6-i}$ és $\binom{5^4}{i}5^i$ is osztható 5⁶-nal. Ez nyilvánvaló, ha i $\ge$ 6. Ha 2 $\le$ i $\le$ 4, akkor

$\binom{5^k}{i}=\frac{5^k(5^k-1)\ldots(5^k-i+1)}{i!}$

osztható 5^k-nal, ezért $\binom{5^6}{i}5^i(-1)^{5^6-i}$ és $\binom{5^4}{i}5^i$ is osztható 5⁶-nal. Végül i=5 esetén elég ellenőrizni, hogy $\binom{5^6}{i}$ és $\binom{5^4}{i}$ is osztható 5-tel, ami viszont következik abból, hogy

$\binom{5^k}{5}=\frac{5^k(5^k-1)\ldots(5^k-4)}{5!}$

osztható 5^k-1-nel.

Ezzel beláttuk, hogy a 4^5⁶+6^5⁴ szám osztható 5⁵-nel, de nem osztható 5⁶-nal. Mivel nyilván osztható 2^5⁴-nel, és így 2⁵-nel is, a szám osztható 10⁵-nel, de nem osztható 10⁶-nal, vagyis pontosan 5 darab nullára végződik.

Statisztika:

61 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: Ágoston Tamás, Balogh Tamás, Bingler Arnold, Di Giovanni Márk, Fehér Zsombor, Forrás Bence, Géczi Péter Attila, Gyarmati Máté, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Katona Dániel, Kiss 902 Melinda Flóra, Kúsz Ágnes, Maga Balázs, Mester Márton, Mócsy Miklós, Nagy Anna Noémi, Ódor Gergely, Sagmeister Ádám, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Tamás, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Tossenberger Tamás, Weisz Ambrus.

3 pontot kapott: Homonnay Bálint, Nagy-György Pál, Strenner Péter, Zilahi Tamás.

2 pontot kapott: 3 versenyző.

1 pontot kapott: 5 versenyző.

0 pontot kapott: 21 versenyző.

A KöMaL 2012. áprilisi matematika feladatai

61 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Balogh Tamás, Bingler Arnold, Di Giovanni Márk, Fehér Zsombor, Forrás Bence, Géczi Péter Attila, Gyarmati Máté, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Katona Dániel, Kiss 902 Melinda Flóra, Kúsz Ágnes, Maga Balázs, Mester Márton, Mócsy Miklós, Nagy Anna Noémi, Ódor Gergely, Sagmeister Ádám, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Tamás, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Tossenberger Tamás, Weisz Ambrus.
3 pontot kapott:	Homonnay Bálint, Nagy-György Pál, Strenner Péter, Zilahi Tamás.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	21 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?