Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4452. feladat (2012. május)

B. 4452. Legyen t>0 valós szám, és jelöljük (minden i pozitív egészre) a t^{i}+\frac{1}{t^{i}} összeget Ti-vel. Mutassuk meg, hogy minden k pozitív egészre

T_{1}T_{2}T_{4}\ldots T_{2^{k-1}}=T_{1}+T_{3}+T_{5}+\ldots +T_{2^{k}-3}+T_{2^{k}-1}.

Javasolta: Pataki János (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2012. június 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Az állítást k szerinti teljes indukcióval bizonyítjuk. Ha k=1, akkor az állítás nyilvánvaló. Tegyük fel, hogy az állítást valamely k pozitív egészre már beláttuk. Mivel

T_{1}+T_{3}+T_{5}+\ldots +T_{2^{k}-3}+T_{2^{k}-1}= (t^1+t^{-1})+(t^3+t^{-3})+\ldots+(t^{2^{k}-1}+t^{-(2^k-1)}),

az indukciós feltevés szerint

T_{1}T_{2}T_{4}\ldots T_{2^{k-1}}T_{2^k}= (T_{1}+T_{3}+T_{5}+\ldots +T_{2^{k}-3}+T_{2^{k}-1})(t^{2^k}+{t^{-2^k}})=

=t^{-2^k}(t^{-(2^k-1)}+t^{-(2^k-3)}+\ldots+t^{2^k-1})+ t^{2^k}(t^{-(2^k-1)}+t^{-(2^k-3)}+\ldots+t^{2^k-1})=

=(t^{-(2^{k+1}-1)}+t^{-(2^{k+1}-3)}+\ldots+t^{-1})+ (t^{1}+t^{3}+\ldots+t^{2^{k+1}-1})=

=T_{1}+T_{3}+T_{5}+\ldots +T_{2^{k+1}-3}+T_{2^{k+1}-1},

ami az állítást k helyett k+1 esetén is igazolja.

Statisztika:

75 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:64 versenyző.
2 pontot kapott:8 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.

A KöMaL 2012. májusi matematika feladatai