A B. 4453. feladat (2012. május)

B. 4453. Egy T téglatestet három síkkal nyolc kisebb téglatestre bontottunk. A kis téglatesteket feketére és fehérre színeztük úgy, hogy a szomszédos darabok különböző színűek legyenek. Tudjuk, hogy a fekete téglák térfogatának összege megegyezik a fehér téglák térfogatának összegével. Bizonyítsuk be, hogy a síkok valamelyike felezi T-t.

(4 pont)

A beküldési határidő 2012. június 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Nyilván mindhárom sík párhuzamos a téglatest valamelyik lapjával, de semelyik kettő sem párhuzamos egymással, mert akkor 8-nál kevesebb rész keletkezne. A téglatest három egymásra merőleges élének hossza legyen a,b,c. Tegyük fel, hogy ezeket a három sík rendre x:x', y:y', illetve z:z' arányban osztja, ahol x+x'=y+y'=z+z'=1. Az egyik színű téglák térfogatának összege

(ax)(by)(cz)+(ax')(by')(cz)+(ax')(by)(cz')+(ax)(by')(cz'),

míg a másik színűeké

(ax')(by)(cz)+(ax)(by')(cz)+(ax)(by)(cz')+(ax')(by')(cz').

A feltétel szerint e kettő egyenlő. Egyszerűsítés és rendezés után az

xyz-x'yz-xy'z-xyz'+x'y'z+x'yz'+xy'z'-x'y'z'=0

egyenletet kapjuk. A bal oldali kifejezést szorzattá alakítva (x-x')(y-y')(z-z')=0, ahonnan x=x', y=y' vagy z=z' adódik, ami azt jelenti hogy rendre az a, b, vagy c hosszú élekre merőleges sík a T téglatestet két egybevágó téglára osztja.

Statisztika:

81 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Balogh Tamás, Czipó Bence, Di Giovanni Márk, Emri Tamás, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Gyarmati Máté, Havasi 0 Márton, Homonnay Bálint, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Kecskés Boglárka, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács-Deák Máté, Medek Ákos, Mihálykó András, Nagy-György Pál, Ódor Gergely, Öreg Botond, Sagmeister Ádám, Schwarcz Tamás, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Szekeres Ágnes, Zilahi Tamás.
3 pontot kapott:	39 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2012. májusi matematika feladatai