A B. 4464. feladat (2012. szeptember)

B. 4464. Határozzuk meg az n darab 9-esből álló szám köbében a számjegyek összegét.

(3 pont)

A beküldési határidő 2012. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A (10ⁿ-1)³=10³ⁿ-3^.10²ⁿ+3^.10ⁿ-1 számról van szó. Itt 3^.10ⁿ-1 egy olyan (n+1)-jegyű szám, melynek első jegye 2-es, az összes többi pedig 9-es, 10³ⁿ-3^.10²ⁿ=10²ⁿ(10ⁿ-3) pedig olyan 3n-jegyű szám, melynek első n-1 jegye 9-es, azokat egy 7-es számjegy követi, végül 2n darab 0 számjegy következik. Ez azt jelenti, hogy az eredeti 3n-jegyű számnak 2n-1 jegye 9-es, n-1 jegye 0, ezeken kívül pedig egy-egy 2-es, illetve 7-es számjegye van, vagyis számjegyeinek összege (2n-1)^.9+2+7=18n.

Statisztika:

316 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	212 versenyző.
2 pontot kapott:	21 versenyző.
1 pontot kapott:	66 versenyző.
0 pontot kapott:	13 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2012. szeptemberi matematika feladatai