Problem B. 4467. (September 2012)
B. 4467. Solve the equation .
(5 pont)
Deadline expired on October 10, 2012.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az egyenlet pontosan akkor értelmezhető, ha x0. Különböztessünk meg két esetet. Az x
1 esetben az egyenlet
alakba írható. Szükségképpen x2-2x=x(x-2)
0, vagyis x
2. Ezen feltétel mellett az egyenlet ekvivalens a négyzetreemelésével kapott x=x2(x-2)2 egyenlettel. Mivel x
0, ezzel leoszthatunk. átrendezve az x3-4x2+4x-1=0 egyenletet kapjuk. Mivel x
1, leoszthatunk (x-1)-gyel, tehát az x2-3x+1 egyenletet kell megoldanunk. Ennek gyökei
, ezek közül azonban csak az
elégíti ki az x
2 feltételt.
A másik esetben 0x<1, ekkor egyenletünk
. Most szükséges, hogy x2-4x+2=(x-2)2-2
0 legyen. Az
lehetőséget a 0
x<1 feltétel kizárja, tehát most
, vagyis
. Ezen feltétel mellett az egyenlet ekvivalens az x=(x2-4x+2)2 egyenlettel. átrendezve az x4-8x3+20x2-17x+4=0 egyenletet kapjuk. Mivel x
1, leoszthatunk (x-1)-gyel, tehát az x3-7x2+13x-4=0 egyenletet kell megoldanunk. Mivel x
4, (x-4)-gyel is leoszthatunk, így az egyenlet az x2-3x+1=0 alakot ölti. Ennek gyökei közül azonban csak az
elégíti ki a
feltételt.
A feladatnak tehát két megoldása van: .
Statistics:
249 students sent a solution. 5 points: 154 students. 4 points: 21 students. 3 points: 26 students. 2 points: 22 students. 1 point: 11 students. 0 point: 15 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2012