A B. 4467. feladat (2012. szeptember)

B. 4467. Oldjuk meg a

$\sqrt{x}=x^{2}-3x+1 +|x-1|$

egyenletet.

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egyenlet pontosan akkor értelmezhető, ha x $\ge$ 0. Különböztessünk meg két esetet. Az x $\ge$ 1 esetben az egyenlet $\sqrt{x}=x^2-2x$ alakba írható. Szükségképpen x²-2x=x(x-2) $\ge$ 0, vagyis x $\ge$ 2. Ezen feltétel mellett az egyenlet ekvivalens a négyzetreemelésével kapott x=x²(x-2)² egyenlettel. Mivel x $\ne$ 0, ezzel leoszthatunk. átrendezve az x³-4x²+4x-1=0 egyenletet kapjuk. Mivel x $\ne$ 1, leoszthatunk (x-1)-gyel, tehát az x²-3x+1 egyenletet kell megoldanunk. Ennek gyökei $(3\pm\sqrt{5})/2$ , ezek közül azonban csak az $x=(3+\sqrt{5})/2$ elégíti ki az x $\ge$ 2 feltételt.

A másik esetben 0 $\le$ x<1, ekkor egyenletünk $\sqrt{x}=x^2-4x+2$ . Most szükséges, hogy x²-4x+2=(x-2)²-2 $\ge$ 0 legyen. Az $x-2\ge \sqrt{2}$ lehetőséget a 0 $\le$ x<1 feltétel kizárja, tehát most $x-2\le -\sqrt{2}$ , vagyis $0\le x\le 2 -\sqrt{2}$ . Ezen feltétel mellett az egyenlet ekvivalens az x=(x²-4x+2)² egyenlettel. átrendezve az x⁴-8x³+20x²-17x+4=0 egyenletet kapjuk. Mivel x $\ne$ 1, leoszthatunk (x-1)-gyel, tehát az x³-7x²+13x-4=0 egyenletet kell megoldanunk. Mivel x $\ne$ 4, (x-4)-gyel is leoszthatunk, így az egyenlet az x²-3x+1=0 alakot ölti. Ennek gyökei közül azonban csak az $x=(3-\sqrt{5})/2$ elégíti ki a $0\le x\le 2 -\sqrt{2}$ feltételt.

A feladatnak tehát két megoldása van: $x_{1,2}=(3\pm\sqrt{5})/2$ .

Statisztika:

249 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 154 versenyző.

4 pontot kapott: 21 versenyző.

3 pontot kapott: 26 versenyző.

2 pontot kapott: 22 versenyző.

1 pontot kapott: 11 versenyző.

0 pontot kapott: 15 versenyző.

A KöMaL 2012. szeptemberi matematika feladatai

249 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	154 versenyző.
4 pontot kapott:	21 versenyző.
3 pontot kapott:	26 versenyző.
2 pontot kapott:	22 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	15 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?