Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4473. feladat (2012. október)

B. 4473. Adott a px³-qx²-rx+s=0 harmadfokú egyenlet, ahol p, q, r, s olyan pozitív számok, amelyekre ps=qr. Bizonyítsuk be, hogy az egyenletnek van két különböző valós gyöke. Milyen feltétel esetén van három különböző gyök?

(3 pont)

A beküldési határidő 2012. november 12-én LEJÁRT.

Útmutatás: Alakítsunk szorzattá.

Megoldás: Legyen r/p=s/q= $\alpha$ ; ez egy pozitív szám. A bal oldali kifejezést szorzattá alakítva az egyenlet (px-q)(x²- $\alpha$ )=0 alakot ölti, melynek mindhárom gyöke valós. A gyökök x₁=q/p>0, $x_2=\sqrt{\alpha}>0$ és $x_3=-\sqrt{\alpha}<0$ . Nyilván x₂ $\ne$ x₃, és a 3 gyök pontosan akkor különböző, ha $q/p\ne \sqrt{\alpha}$ , vagyis ha q² $\ne$ pr.

Statisztika:

146 dolgozat érkezett.

3 pontot kapott: 101 versenyző.

2 pontot kapott: 32 versenyző.

1 pontot kapott: 11 versenyző.

0 pontot kapott: 2 versenyző.

A KöMaL 2012. októberi matematika feladatai

146 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	101 versenyző.
2 pontot kapott:	32 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.