Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4476. feladat (2012. október)

B. 4476. Mutassuk meg, hogy a 169 végtelen sokféleképpen írható fel két racionális szám négyzetének összegeként.

(4 pont)

A beküldési határidő 2012. november 12-én LEJÁRT.

Útmutatás: Pitagoraszi számhármasok.

Megoldás: Tekintsük az a=2k+1, b=2k2+2k, c=2k2+2k+1 számokat, ahol k pozitív egész szám; ekkor a2+b2=c2. Az a és c számok relatív prímek, hiszen ha d mindkettőnek osztója, akkor osztója a c-ka=k+1 számnak, és ennélfogva 2(k+1)-a=1-nek is. Továbbá a<b, így az (a/c)2+(b/c)2=1 előállítások mind különbözőek. Ennélfogva a

169=\left(\frac{13(2k+1)}{2k^2+2k+1}\right)^2+ \left(\frac{13(2k^2+2k)}{2k^2+2k+1}\right)^2

felírásokkal a 169-et végtelen sokféleképpen felbontottuk két racionális szám négyzetének összegére.

Statisztika:

175 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:83 versenyző.
3 pontot kapott:35 versenyző.
2 pontot kapott:9 versenyző.
1 pontot kapott:6 versenyző.
0 pontot kapott:42 versenyző.

A KöMaL 2012. októberi matematika feladatai