A B. 4480. feladat (2012. október)

B. 4480. Az ABC háromszög AB oldalához tartozó hozzáírt köre az AB, BC és CA oldalegyeneseket rendre az E, F, G pontokban érinti. Az AF és BG egyenesek metszéspontja H. Az ABC háromszög középvonalai által alkotott háromszög beírt köre az AB-vel párhuzamos oldalt az N pontban érinti. Igazoljuk, hogy az E, H és N pontok egy egyenesre illeszkednek.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. november 12-én LEJÁRT.

Útmutatás: C pont is illeszkedik az egyenesre.

Megoldás: A háromszög oldalait és kerületének felét a szokásos módon jelölje a,b,c,s. Mivel AE=AG és BE=BF, CF+CG=a+b+c, ahonnan CF=CG=s, AE=AG=s-b és BE=BF=s-a. Ennek következtében

Ez akkor is fennáll, ha előjeles szakaszokkal számolunk, hiszen pontosan két szakasz (BF és GA) előjele lesz negatív. Ceva tételének megfordítása szerint az AF, BG és CE egyenesek egy pontban metszik egymást, ami éppen a H pont. Eszerint tehát az egymástól különböző C,E és H pontok egy egyenesre illeszkednek. Már csak annyit kell belátni, hogy az egymástól különböző C,E és N pontok is egy egyenesre illeszkednek.

Az ABC háromszögbe írható kör érintse az AB oldalt az E' pontban. Közismert (és a fenti módszerrel könnyen igazolható), hogy AE'=s-a és BE'=s-b. Az ABC háromszög és a középvonalai által meghatározott A'B'C' háromszög hasonlóságából A'N:B'N=AE':BE'=BE:AE. A B'A'C háromszöget megkaphatjuk az ABC háromszögből ha azt a C pontból felére kicsinyítjük. A fenti arányosság miatt ez a transzformáció az E pontot az N-be viszi, vagyis N éppen a CE szakasz felezőpontja. Ezzel az állítást igazoltuk.

Statisztika:

36 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Péter, Balogh Tamás, Bingler Arnold, Bogár Blanka, Bősze Zsuzsanna, Demeter Dániel, Fehér Zsombor, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Havasi 0 Márton, Homonnay Bálint, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kúsz Ágnes, Maga Balázs, Medek Ákos, Nagy Róbert, Nagy-György Pál, Petrényi Márk, Sagmeister Ádám, Sárosdi Zsombor, Schwarcz Tamás, Szabó 262 Lóránt, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Tardos Jakab, Tossenberger Tamás, Tulassay Zsolt.
4 pontot kapott:	Herczeg József, Nagy Bence Kristóf.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2012. októberi matematika feladatai