Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4484. feladat (2012. november)

B. 4484. Bizonyítsuk be, hogy az

1+2+2^{2}+\ldots +2^{x}=y^{z}

egyenletnek nincs olyan x, y, z pozitív egész megoldása, amelyre z>1 teljesül.

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. december 10-én LEJÁRT.

Útmutatás: 2x+1=yz+1.

Megoldás: Tegyük fel, hogy az x,y,z pozitív egész számokra 1+2+2^{2}+\ldots +2^{x}=y^{z} teljesül. Ekkor 2x+1-1=yz. A bal oldalon álló szám páratlan, sőt 4-gyel osztva 3 maradékot ad. Ezért y is páratlan. Sőt, z is páratlan, hiszen ha páros lenne, akkor a jobb oldalon egy páratlan szám négyzete állna, ami 4-gyel osztva 1 maradékot ad. Ezért felírható, hogy

2x+1=yz+1=(y+1)(yz-1-yz-2+...-y+1).

A jobb oldalon mindkét tényező 2-nek nemnegatív egész kitevős hatványa kell legyen. Jegyezzük meg, hogy y\ne1. Ezért z>1 esetén

yz-1-yz-2+...-y+1=(y-1)(yz-2+yz-4+...+y)+1

egy 1-nél nagyobb páratlan szám lenne, ami nem lehetséges.

Statisztika:

121 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:71 versenyző.
4 pontot kapott:8 versenyző.
3 pontot kapott:3 versenyző.
2 pontot kapott:7 versenyző.
1 pontot kapott:5 versenyző.
0 pontot kapott:25 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

A KöMaL 2012. novemberi matematika feladatai