A B. 4486. feladat (2012. november)

B. 4486. Legyenek a és b pozitív egészek. Hány olyan n nemnegatív egész szám van, amelyre

$\left[\frac{n}{ab}\right] + \left[\frac{n+b}{ab}\right] + \left[\frac{n+2b}{ab}\right] + \ldots + \left[\frac{n+(a-1)b}{ab}\right] =$

$= \left[\frac{n}{ab}\right] + \left[\frac{n+a}{ab}\right] + \left[\frac{n+2a}{ab}\right] + \ldots + \left[\frac{n+(b-1)a}{ab}\right]?$

([x] az x szám egészrészét, azaz azt a legnagyobb egész számot jelöli, amely nem nagyobb az x számnál.)

Javasolta: R. F. Stöckli (Buenos Aires)

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. december 10-én LEJÁRT.

Útmutatás: Írjuk föl zárt alakban mindkét oldalt.

Megoldás: Ha a=b, akkor a két oldal azonosan egyenlő, vagyis végtelen sok megoldás van. Tegyük fel tehát, hogy a<b (az a>b esetben az eredmény a és b felcserélésével adódik). Ekkor a jobb oldalon a tagok száma nagyobb, mint a bal oldalon. Továbbá $i=1,2,\ldots,a$ esetén n+(a-i)b<n+(b-i)a, vagyis

$\left[\frac{n+(a-i)b}{ab}\right]\le \left[\frac{n+(b-i)a}{ab}\right].$

Ezért a bal oldalon álló kifejezés értéke minden n nemnegatív egész szám esetén legfeljebb akkora, mint a jobb oldalon álló kifejezésé. Egyenlőség pedig akkor és csak akkor teljesül, ha minden $i=1,2,\ldots,a$ esetén

$\left[\frac{n+(a-i)b}{ab}\right]= \left[\frac{n+(b-i)a}{ab}\right],$

és minden $i=a+1,\ldots,b$ esetén

$\left[\frac{n+(b-i)a}{ab}\right]=0.$

Speciálisan [n/ab]=0, vagyis n<ab. Vegyük észre, hogy minden 0 $\le$ i<a, 0 $\le$ j<b esetén

|(n+ib)-(n+ja)|=|ib-ja|<ab,

amiért is a szóban forgó egészrészek közül bármely kettő különbsége legfeljebb 1. Mindezek fényében az n szám pontosan akkor elégíti ki az egyenlőséget, ha valamely 0 $\le$ t $\le$ a egész szám mellett teljesül az, hogy mindkét összeg utolsó t tagja 1-gyel, az összes megelőző pedig 0-val egyenlő. Ez pedig, ugyancsak a fentiek miatt, ekvivalens azzal, hogy alkalmas 0 $\le$ t $\le$ a egész számmal

$\left[\frac{n+(a-t)b}{ab}\right]=1\qquad\hbox{\rm \'es}\qquad \left[\frac{n+(b-t-1)a}{ab}\right]=0,$

vagyis tb $\le$ n<(t+1)a. Ez utóbbi halmaz pontosan akkor nem üres, ha t(b-a)<a, vagyis ha t $\le$ m-1, ahol m az a/(b-a) szám felső egészrésze. A megoldások száma pedig

$a+(2a-b)+(3a-2b)+\ldots+\bigl(ma-(m-1)b\bigr)= \frac{m}{2}\bigl(a+b-m(b-a)\bigr).$

Statisztika:

56 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Balogh Tamás, Bingler Arnold, Bogár Blanka, Czipó Bence, Di Giovanni Márk, Fehér Zsombor, Fekete Panna, Forrás Bence, Hansel Soma, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Maga Balázs, Nagy Gergely, Nagy-György Pál, Petrényi Márk, Qian Lívia, Sal Kristóf, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Tamás, Seress Dániel, Szabó 262 Lóránt, Szabó 789 Barnabás, Tardos Jakab, Tossenberger Tamás, Williams Kada.

4 pontot kapott: Homonnay Bálint, Mócsy Miklós, Nagy Bence Kristóf, Nagy Róbert, Thamó Emese, Venczel Tünde.

3 pontot kapott: 2 versenyző.

2 pontot kapott: 1 versenyző.

1 pontot kapott: 11 versenyző.

0 pontot kapott: 8 versenyző.

A KöMaL 2012. novemberi matematika feladatai

56 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Balogh Tamás, Bingler Arnold, Bogár Blanka, Czipó Bence, Di Giovanni Márk, Fehér Zsombor, Fekete Panna, Forrás Bence, Hansel Soma, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Maga Balázs, Nagy Gergely, Nagy-György Pál, Petrényi Márk, Qian Lívia, Sal Kristóf, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Tamás, Seress Dániel, Szabó 262 Lóránt, Szabó 789 Barnabás, Tardos Jakab, Tossenberger Tamás, Williams Kada.
4 pontot kapott:	Homonnay Bálint, Mócsy Miklós, Nagy Bence Kristóf, Nagy Róbert, Thamó Emese, Venczel Tünde.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?