 |
A B. 4488. feladat (2012. november) |
B. 4488. Mutassuk meg, hogy a 168 nem írható fel két racionális szám négyzetének összegeként.
(4 pont)
A beküldési határidő 2012. december 10-én LEJÁRT.
Útmutatás: 3-mal való oszthatóság.
Megoldás: Tegyük fel, hogy az állítással ellentétben 168=(p/q)2+(r/s)2 teljesül alkalmas p,q,r,s egész számokkal, ahol q,s
0. Ekkor 168(qs)2=(ps)2+(rq)2, ahol qs0, vagyis a ps, rq számok közül legalább az egyik nem 0. Ezen számok legnagyobb közös osztójának négyzetével leosztva kapjuk, hogy alkalmas a,b,c egész számokkal 168c2=a2+b2, ahol a és b relatív prímek. A jobb oldalon álló szám 3-mal osztva 1 vagy 2 maradékot ad aszerint, hogy az a,b számok között van-e 3-mal osztható vagy sem. A bal oldalon álló szám azonban osztható 3-mal, ami ellentmondás.
Statisztika:
143 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 81 versenyző. 3 pontot kapott: 9 versenyző. 2 pontot kapott: 8 versenyző. 1 pontot kapott: 18 versenyző. 0 pontot kapott: 16 versenyző. Nem versenyszerű: 11 dolgozat.
A KöMaL 2012. novemberi matematika feladatai