Problem B. 4493. (December 2012)
B. 4493. Let (n,k) denote the greatest common divisor of the positive integers n and k, and let [n,k] denote their least common multiple. Show that, for all positive integers a, b, c, the greatest common divisor of the numbers [a,b], [b,c], [c,a] equals the least common multiple of the numbers (a,b), (b,c), (c,a).
(4 pont)
Deadline expired on January 10, 2013.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Útmutatás: Tekintsük a prímtényezős felbontásokat.
Megoldás: Legyenek azok a prímszámok, melyek az a,b,c számok közül legalább egyet osztanak. Ekkor egyértelműen léteznek olyan
i,
i,
i (1
i
t) nemnegatív egész számok, melyekkel
,
,
. Ezen prímtényezős felbontások szerint az [a,b], [b,c], [c,a] számok legnagyobb közös osztója
, az (a,b), (b,c), (c,a) számok legkisebb közös többszöröse pedig
alakú, ahol
i=min {max {
i,
i},max {
i,
i},max {
i,
i}},
i=max {min {
i,
i},min {
i,
i},min {
i,
i}}.
Elegendő belátni, hogy minden 1i
t esetén
i=
i. Rögzített i mellett szimmetria okokból feltehetjük, hogy
i
i
i. Ekkor pedig valóban
i=min {
i,
i,
i}=
i=max {
i,
i,
i}=
i.
Statistics:
161 students sent a solution. 4 points: 116 students. 3 points: 16 students. 2 points: 11 students. 1 point: 11 students. 0 point: 7 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2012