A B. 4512. feladat (2013. február)

B. 4512. Két egybevágó kocka minden lapjára egy-egy számjegyet írunk úgy, hogy a kockákat megfelelően elforgatva, majd egymás mellé téve egy hónap bármely napjának sorszámát megkapjuk. (Az egy számjegyű napok írása a szokásnak megfelelően pl. 01. Szükség esetén a 9-es a 6-os elforgatásával is megkapható.) Hányféleképpen tehetjük meg ezt, ha az egyes kockákon szereplő számok egymáshoz viszonyított helyzetét nem vesszük figyelembe?

Javasolta: Balga Attila (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2013. március 11-én LEJÁRT.

Megoldási ötlet: Mely számjegyekből szükséges 2 db?

Megoldás. Elöször is megjegyezzük, hogy a 9-es és 6-os számjegyek egymás elforgatottjai, ezért valójában csak kilencféle számjegyet szükséges használnunk.

A 11 és 22 előállításához a 1-est és a 2-est is mindkét kockán el kell helyeznünk. A 01, 02, ..., 09 számokban összesen nyolcféle jegy szerepel a 0 mellett. Ez a nyolc jegy nem fér el egy kockán, ezért mindkét kockán szerepelnie kell a 0-nak is.

Mint láttuk, mindkét kockán szerepelnie kell a 0, 1 és 2 jegyeknek; a további hat kockalapon pedig szerepelni kell a 3, 4, 5, 6, 7, 8 jegyeknek. Megmutatjuk, hogy a hat helyre a hat számjegyet tetszőlegesen eloszthatjuk. A 01 és 31 közötti számok mindegyikében szerepel a 0, 1, 2 jegyek valamelyike. Ha előbb a nagyobbik számjegyet (a megfelelő kockán) tesszük a helyére, a kisebbik jegyet a másik kockán biztosan megjeleníthetjük.

A kérdés tehát az, hogy a 3, 4, 5, 6, 7, 8 jegyeket hányféleképpen bonthatjuk két, háromelemű részre. Avagy, például a 3-as mellé hányféleképpen választhatjuk ki a másik két jegyet a többi 5 jegy közül. Erre pedig a válasz .

Statisztika:

148 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	72 versenyző.
2 pontot kapott:	58 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2013. februári matematika feladatai