A B. 4516. feladat (2013. február)

B. 4516. Az ABC háromszögben és , valamint b=12. Az A-val és B-vel szemközti oldalak felezőpontjai rendre F_a és F_b, a magasságok talppontjai rendre T_a és T_b. Igazoljuk, hogy az ABC háromszög súlypontja, magasságpontja és a T_aF_b és F_aT_b metszéspontja egy egyenesre esik.

(4 pont)

A beküldési határidő 2013. március 11-én LEJÁRT.

Megoldási ötlet: Alkalmazzuk a Papposz-tételt vagy használjunk koordinátákat.

1. megoldás. Legyen a súlypont S, a magasságpont M, a T_aF_b és F_aT_b egyenesek metszéspontja X. Az A, F_A, T_A pontok az AC egyenesen, a B, F_b, T_b pontok pedig a BC egyesen vannak. A Papposz-tételt a az (A,F_A,T_A) és (B,F_b,T_b) ponthármasokra alkalmazva kapjuk, hogy AF_bBF_a=S, AT_bBT_a=M és F_aT_bF_bT_a=X egy egyenesre esik.

2. megoldás (vázlat). Helyezzük el az ábrát a derékszögű koordináta-rendszerben úgy, hogy T_b legyen az origó, és legyen az x-tengely pozitív iránya.

Könnyű ellenőrizni, hogy T_b=(0,0), A=(8,0), C=(-4,0), B=(0,8), F_b=(2,0), F_a=(-2,4), . A magasságpont ordinátáját a A-ból induló magasság egyenletéből, vagy a T_bM^.T_bB=T_bA^.T_bC azonosságből is kiszámíthatjuk: M=(0;4).

A BC és AM egyenesek egyenlete 2x-y=-8, illetve x+2y=8, metszéspontjuk .

Az T_aF_b és F_aT_b egyenesek egyenlete 4x+3y=8, illetve 2x+y=0; a metszéspontjuk X=(-4;8).

Az és vektorok párhuzamosak, mert . Tehát S, M és X egy egyenesen van.

Statisztika:

103 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	90 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2013. februári matematika feladatai