A B. 4517. feladat (2013. február)

B. 4517. Az O középpontú egység sugarú XY negyedköríven felvettük az A $\ne$ B belső pontokat. Az A, B pontokon át az OX egyenessel húzott párhuzamosok az OY sugarat az A_Y, B_Y pontokban, az OY egyenessel húzott párhuzamosok az OX sugarat az A_X, B_X pontokban metszik. Határozzuk meg az AA_XB_XB és AA_YB_YB négyszögek területének összegét az AB szakasz hosszának függvényében.

Javasolta: Károlyi Gyula (Budapest, Brisbane)

(4 pont)

A beküldési határidő 2013. március 11-én LEJÁRT.

Megoldási ötlet: Használjunk szögfüggvényeket.

Megoldás. Legyen $AOA_X\sphericalangle=\alpha$ , $BOB_X\sphericalangle=\beta$ . Helyezzük el az ábrát a derékszögű koordinátarendszerben az ábra szerint, vizsgáljuk azt az esetet, amikor $\beta$ $\ge$ $\alpha$ .

Az AA_XB_XB és a AA_YB_YB négyszög is trapéz. A területük összege

$t_{AA_XB_XB} + t_{AA_YB_YB} = \tfrac12 (AA_X+BB_X)\cdot A_XB_X + \tfrac12 (AA_Y+BB_Y)\cdot A_YB_Y =$

$= \tfrac12 (\sin\alpha+\sin\beta) \cdot (\cos\alpha-\cos\beta) + \tfrac12 (\cos\alpha+\cos\beta) \cdot (\sin\beta-\sin\alpha) =$

=cos $\alpha$ sin $\beta$ -sin $\alpha$ cos $\beta$ =sin ( $\beta$ - $\alpha$ ).

Az OAB egyenlő szárú háromszögből látható, hogy

$AB = 2 \sin\frac{\beta-\alpha}{2},$

amiből

$\sin(\beta-\alpha) = 2 \sin\frac{\beta-\alpha}2 \cos\frac{\beta-\alpha}2 = 2 \sin\frac{\beta-\alpha}2 \sqrt{1-\sin^2\frac{\beta-\alpha}2} = AB\cdot \sqrt{1-\frac{AB^2}4}.$

Tehát

$t_{AA_XB_XB} + t_{AA_YB_YB} = AB\cdot \sqrt{1-\frac{AB^2}4}.$

Statisztika:

72 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: 60 versenyző.

3 pontot kapott: 7 versenyző.

2 pontot kapott: 2 versenyző.

1 pontot kapott: 3 versenyző.

A KöMaL 2013. februári matematika feladatai

72 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	60 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?