Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4520. feladat (2013. február)

B. 4520. Legyenek a, b és c pozitív számok. Határozzuk meg az x, y, z nemnegatív változók értékét úgy, hogy az

a^2\frac{x}{y+z} + b^2\frac{y}{z+x} + c^2\frac{z}{x+y}

kifejezés értéke minimális legyen.

Szöllősy György (Máramarossziget) feladata nyomán

(6 pont)

A beküldési határidő 2013. március 11-én LEJÁRT.

Megoldási ötlet: Növeljük (a2+b2+c2)-tel.

 

Megoldás. A megoldáshoz felhasználjuk a Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij-egyenlőtlenség következő, jól ismert alakját: ha a_1,\ldots,a_n valós, és x_1,\ldots,x_n pozitív számok, akkor

\frac{a_1^2}{x_1}+\ldots+\frac{a_n^2}{x_n} \ge \frac{(a_1+\ldots+a_n)^2}{x_1+\ldots+x_n}, (1)

és a két oldal akkor és csak akkor egyenlő, ha \frac{a_1}{x_1}=\ldots=\frac{a_n}{x_n}, vagy másképpen (a_1:a_2:\ldots:a_n)=(x_1:x_2:\ldots:x_n).

Növeljük a kifejezést (a2+b2+c2)-tel, majd alkalmazzuk (1)-et az (a,b,c) és (y+z,z+x,x+y) számhármasokra:

a^2\frac{x}{y+z} + b^2\frac{y}{z+x} + c^2\frac{z}{x+y} + (a^2+b^2+c^2) = (x+y+z)\cdot \left(\frac{a^2}{y+z} +\frac{b^2}{z+x} +\frac{c^2}{x+y}\right) \ge

\ge (x+y+z)\cdot\frac{(a+b+c)^2}{(y+z)+(z+x)+(x+y)} = \frac{(a+b+c)^2}2,

vagyis

a^2\frac{x}{y+z} + b^2\frac{y}{z+x} + c^2\frac{z}{x+y} \ge \frac{(a+b+c)^2}2 - (a^2+b^2+c^2). (2)

(Ugyanezt a becslést megkapjuk úgy is, hogy a Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij-egyenlőtlenség szokásos (a_1^2+\ldots+a_n^2)(b_1^2+\ldots+b_n^2)\ge(a_1b_1+\ldots+a_nb_n)^2 alakját írjuk fel a (\sqrt{y+z},\sqrt{z+x},\sqrt{x+y}) és \left(\frac{a}{\sqrt{y+z}}, \frac{b}{\sqrt{z+x}}, \frac{c}{\sqrt{x+y}}\right) számhármasokra, vagy ha a súlyozott számtani és harmonikus közepek közötti egyenlőtlenséget írjuk fel az \frac{a}{y+z}, \frac{b}{z+x}, \frac{c}{x+y} számokra az a,b,c súlyokkal.)

Egyenlőség akkor állhat, ha \frac{y+z}a=\frac{z+x}b=\frac{z+y}c=2k valamilyen k>0 számmal. Ebből kifejezve x,y,z-t, x=\frac{(x+y)+(x+z)-(y+z)}2=k(b+c-a), y=k(a+c-b) és z=(a+b-c), ezek valóban nemnegatívak. Ebben az esetben tehát (2) megadja a^2\frac{x}{y+z} + b^2\frac{y}{z+x} + c^2\frac{z}{x+y} minimumát, és azt is, hogy a minimumot mely pontokban kapjuk:

x=k(b+c-a),  y=k(a+c-b),  z=(a+b-c)    (k>0).

Ha viszont a,b,c valamelyike nagyobb, mint a másik kettő összege, a kapott x,y,z értékek egyike negativ, és emiatt a (2) egyenlőtlenség nem lehet éles. A továbbiakban azzal az esettel foglalkozunk, amikor c>a+b; a szimmetria miatt a másik két eset a változók felcserélésével ugyanígy vizsgálható.

Legyen d=a+b<c. Ha c-t kicseréljük d-re, akkor a (2) becslés szerint

a^2\frac{x}{y+z} + b^2\frac{y}{z+x} + c^2\frac{z}{x+y} \ge a^2\frac{x}{y+z} + b^2\frac{y}{z+x} + d^2\frac{z}{x+y} \ge \frac{(a+b+d)^2}2 - (a^2+b^2+d^2). (3)

A második becslésben akkor van egyenlőség, ha x=k(b+d-a)=2kb, y=k(a+d-b)=2ka és z=k(a+b-d)=0; a z=0 esetben az első becslésben is egyenlőség áll. A (3) tehát megadja a minimumot és annak helyét. A k-t k/2-re cserélve,

x=kb,  y=ka,  z=0    (k>0).

Összefoglalva, azok az (x,y,z) számhármasok, amikre a^2\frac{x}{y+z} + b^2\frac{y}{z+x} + c^2\frac{z}{x+y} minimális, a következők:

x=k(b+c-a), y=k(c+a-b), z=k(a+b-c), ha a\leb+c, b\lea+c és c\lea+b;
x=0, y=kc, z=kb, ha a>b+c;
x=kc, y=0, z=ka, ha b>a+c;
x=kb, y=ka, z=0, ha c>a+b.

Statisztika:

45 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:Fehér Zsombor, Havasi 0 Márton, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kúsz Ágnes, Maga Balázs, Makk László, Qian Lívia, Schwarcz Tamás, Somogyvári Kristóf, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Tardos Jakab, Williams Kada.
5 pontot kapott:Balogh Tamás, Bereczki Zoltán, Gyulai-Nagy Szuzina, Lelkes János, Nagy-György Pál, Nagy-György Zoltán.
4 pontot kapott:14 versenyző.
2 pontot kapott:1 versenyző.
1 pontot kapott:5 versenyző.
0 pontot kapott:3 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

A KöMaL 2013. februári matematika feladatai