A B. 4522. feladat (2013. március)

B. 4522. Határozzuk meg az összes olyan n egész számot, amelyre

|2n³-6n²+4n+3|

prímszám.

(3 pont)

A beküldési határidő 2013. április 10-én LEJÁRT.

Megoldási ötlet: Vizsgáljuk a 3-as maradékot.

Megoldás. Vegyük észre, hogy 2n³-6n²+4n+3=2n(n-1)(n-2)+3 mindig osztható 3-mal, mert n-2, n-1 és n három szomszédos egész szám. Ezért |2n³-6n²+4n+3| csak úgy lehet prímszám, ha értéke pontosan 3.

Ha n=0, n=1 vagy n=2, akkor 2n(n-1)(n-2)+3=3. Ezek tehát megoldások.

Ha n3, akkor 2n(n-1)(n-2)+3>3, ha pedig n-1, akkor n(n-1)(n-2)=-|n|^.|n-1|^.|n-2|<-6, így 2n(n-1)(n-2)+32^.(-6)+3<-3. Az ilyen n értékekre tehát |2n³-6n²+4n+3|>3, ezek nem megoldások.

Összefoglalva, |2n³-6n²+4n+3| akkor prímszám, ha n=0, n=1 vagy n=2.

Statisztika:

152 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	111 versenyző.
2 pontot kapott:	32 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2013. márciusi matematika feladatai