Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4533. feladat (2013. április)

B. 4533. Van-e olyan pozitív egész, ami teljes hatvány, és a tízes számrendszerbeli alakjában minden számjegy 0 vagy 6?

(4 pont)

A beküldési határidő 2013. május 10-én LEJÁRT.

Megoldási ötlet: I. Vizsgáljuk a 2 és az 5 kitevőjét. II. Bizonyítsunk indirekt. Vegyük a legkisebb ilyen számot, majd keressünk nála kisebbet.

Megoldás. Nincs.

Tekintsük egy tetszőleges N pozitív egészt, aminek a tízes számrendszerbeli alakjában minden számjegy 0 vagy 6. legyen az utolsó 6-os után álló 0 jegyek száma k. (Ha az utolsó jegy 6-os, akkor k=0.) Ekkor tehát

N = 6\ldots 6\underbrace{0\ldots0}_k = N_1\cdot 10^k = N_1\cdot 2^k\cdot 5^k,

ahol az N1 szám utolsó jegye 6.

Az N1 szám nem osztható 5-tel, ezért az N prímtényezős felbontásában az 5 kitevője k.

Az N1 utolsó két jegye vagy 06, vagy pedig 66; az N1 egyik esetben sem osztható 4-gyel. Ezért a 2 kitevője az N prímtényezős felbontásában pontosan k+1.

Ha N teljes hatvány lenne, azaz N=ah lenne valamilyen h>1 kitevővel, akkor a 2 és az 5 kitevője is osztható lenne h-val. De ez a két kitevő, k és k+1 relatív prímek, ilyen h tehát nem lehet.

Statisztika:

102 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:80 versenyző.
3 pontot kapott:11 versenyző.
2 pontot kapott:7 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2013. áprilisi matematika feladatai