A B. 4537. feladat (2013. április)

B. 4537. Egy 20×20-as négyzetben elhelyeztünk 200 darab egységszakaszt. Bizonyítsuk be, hogy létezik a négyzetben olyan egység átmérőjű körlap, amelynek egyik egységszakasszal sincs közös pontja.

(Kárpátaljai versenyfeladat)

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. május 10-én LEJÁRT.

Megoldási ötlet: Hol (nem) lehet a körlap középpontja?

Megoldásvázlat: A körlapot nyilván elég a középpontjával megadnunk.

Olyan pontot kell találnunk, anely a négyzet belsejében van, a négyzet határától és az egységszakaszoktól is legalább 0,5 egységnyi távolságra.

A négyzet belsejében tehát egy 19×19 méretű, 19²=361 területű négyzetben kell keresnünk. Azoknak pontoknak a halmaza, amik egy konkrét egységszakasztól legfeljebb 0,5 egységnyire vannak, felbontható két félkörlemezre és egy egységnégyzetre; egy-egy ilyen tiltott halmaz területe .

A 200 egységszakasz által tiltott terület összesen legfeljebb , kisebb, mint a 19×19-es négyzet területe. Ezért a tiltott halmazok nem fedhetik le a 19×19-es négyzetet; mindig létezik megfelelő középpont.

Statisztika:

56 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Árkos Gergely, Balogh Tamás, Baran Zsuzsanna, Bogár Blanka, Di Giovanni Márk, Emri Tamás, Fehér Zsombor, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Gyulai-Nagy Szuzina, Herczeg József, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Katona Dániel, Khayouti Sára, Leipold Péter, Leitereg Miklós, Maga Balázs, Makk László, Márton Boldizsár, Nagy Gergely, Nagy Róbert, Nagy-György Pál, Paulovics Zoltán, Petrényi Márk, Qian Lívia, Sagmeister Ádám, Sal Kristóf, Schwarcz Tamás, Simkó Irén, Somogyvári Kristóf, Szabó 157 Dániel, Szabó 524 Tímea, Szabó 789 Barnabás, Szász Dániel Soma, Szebellédi Márton, Szőke Tamás, Tossenberger Tamás, Tóth László Gábor, Vető Bálint, Williams Kada, Zilahi Tamás.
4 pontot kapott:	Ágoston Péter, Kulcsár Ildikó.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.

A KöMaL 2013. áprilisi matematika feladatai