A B. 4538. feladat (2013. április)

B. 4538. Az $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ függvényre teljesül, hogy

(x-2)f(x)-(x+1)f(x-1)=3.

Határozzuk meg f(2013) értékét, ha f(2)=5.

(Matlap, Kolozsvár)

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. május 10-én LEJÁRT.

Megoldási ötlet: Vizsgáljuk az f(x)+1 függvényt.

Megoldás. Legyen g(x)=f(x)+1. A függvényegyenletet átírva g-re,

(x-2)f(x)-(x+1)f(x-1)=3=(x+1)-(x-2)

(x-2)(f(x)+1)-(x+1)(f(x-1)+1)=0

(x-2)g(x)-(x+1)g(x-1)=0

$g(x) = \frac{x+1}{x-2} g(x-1) \quad (x\ne 2).$

(*)

Ha n>2 egész, akkor a (*) összefüggést sorban x=n, x=n-1, ..., x=3-ra alkalmazva

$g(n) = \frac{n+1}{n-2}g(n-1) = \frac{n+1}{n-2} \cdot \frac{n}{n-3}g(n-2) = \ldots = \frac{n+1}{n-2} \cdot \frac{n}{n-3} \cdot \frac{n-1}{n-4} \cdot\ldots\cdot \frac52 \cdot \frac41 \cdot g(2) =$

$= \frac{(n+1)n(n-1)}{3\cdot 2\cdot 1} \cdot 6 = (n+1)n(n-1).$

(**)

Az n=2013 speciális esetben g(2013)=2014^.2013^.2012=8 157 014 184, tehát

f(2013)=8 157 014 183.

Ezzel bebizonyítottuk, hogy f(2013) értéke nem lehet más, mint 8 157 014 183, de azt még nem mutattuk meg, hogy ez az érték valóban lehetséges. Ahhoz, hogy a megoldás teljes legyen, azt is ellenőriznünk kell, hogy létezik legalább egy, a feltételeknek megfelelő f függvény. Egy lehetséges függvényt a (**) képletből megsejthetünk:

f(x)=(x+1)x(x+1)-1.

Erre a függvényre valóban teljesül, hogy

(x-2)f(x)-(x+1)f(x-1)=(x-2)((x+1)x(x-1)-1)-(x+1)(x(x-1)(x-2)-1)=3.

Statisztika:

89 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 65 versenyző.

4 pontot kapott: 11 versenyző.

3 pontot kapott: 4 versenyző.

2 pontot kapott: 1 versenyző.

1 pontot kapott: 3 versenyző.

0 pontot kapott: 2 versenyző.

Nem versenyszerű: 3 dolgozat.

A KöMaL 2013. áprilisi matematika feladatai

89 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	65 versenyző.
4 pontot kapott:	11 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?