Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4541. feladat (2013. április)

B. 4541. Legyen \mathcal K az (1;1;1), (2;4;8), ..., (100;1002;1003) koordinátájú pontok konvex burka. Hány csúcsa, éle és lapja van \mathcal K-nak?

(6 pont)

A beküldési határidő 2013. május 10-én LEJÁRT.

Megoldási ötlet: Vetítsünk az xy síkra, illetve alkalmazzuk a poliédertételt.

Megoldásvázlat. Legyen a konvex burok K, a csúcsok, élek és lapok száma C, E, illetve L.

A pontok xy-síkra eső vetületei az y=x2 síkon parabolán vannak, és különböznek egymástól. A K vetülete az y=x2 síkon tehát egy konvex 100-szög. Ebből következik, hogy mind a 100 pont csúcsa K-nak, és mivel más csúcs nincs, C=100.

Megmutatjuk, hogy K csúcsai közöl semelyik három nem esik egy síkra. Ebből következik, hogy K minden lapja háromszög. Ismert, hogy tetszőleges négy pont, (x1,y1,z1), (x2,y2,z2), (x3,y3,z3) és (x4,y4,z4) akkor és csak akkor esik egy síkra, ha

\left|\matrix{ x_1 & y_1 & z_1 & 1 \cr x_2 & y_2 & z_2 & 1 \cr x_3 & y_3 & z_3 & 1 \cr x_4 & y_4 & z_4 & 1 \cr }\right|=0.

Ha ezt K négy különböző csúcsára, az (a,a2,a3), (b,b2,b3), (c,c2,c3) és (d,d2,d3) pontokra alkalmazzuk, láthatjuk, hogy

\left|\matrix{ a & a^2 & a^3 & 1 \cr b & b^2 & b^3 & 1 \cr c & c^2 & c^3 & 1 \cr d & d^2 & d^3 & 1 \cr }\right| = -(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)\ne0.

Ezek után az egymáshoz illeszkedő él-lap párok kettős leszámlálából

2E=3L,

a poliédertételből pedig

C+L=E+2.

Ebből kapjuk, hogy

E=3E-2E=3(C+L-2)-3L=3C-6=294,

és

L=3L-2L=2E-2(E+2-C)=2C-4=196.

A konvex buroknak tehát 100 csúcsa, 294 éle és 196 háromszöglapja van.

Statisztika:

18 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:Ágoston Péter, Bereczki Zoltán, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Herczeg József, Janzer Olivér, Kúsz Ágnes, Leitereg Miklós, Maga Balázs, Schwarcz Tamás, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Tossenberger Tamás, Venczel Tünde, Williams Kada.
5 pontot kapott:Csépai András, Forrás Bence.
2 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2013. áprilisi matematika feladatai