Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4544. feladat (2013. május)

B. 4544. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:

x+y+z=3,

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{5}{12},

x3+y3+z3=45.

Felvidéki versenyfeladat

(4 pont)

A beküldési határidő 2013. június 10-én LEJÁRT.

Megoldási ötlet: Írjuk fel azt a harmadfokú egyenletet, amelynek gyökei x, y, z.

Megoldásvázlat. Legyen A=x+y+z, B=xy+xz+yz és C=xyz; ekkor x,y,z a t3-At2+Bt-C harmadfokú polinom gyökei.

Az egyenletrendszert átírva A,B,C-re,

A=3,(1)
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{B}{C} = \frac{5}{12}, (2)
x3+y3+z3=A3-3AB+3C=45.(3)

A (2)-ből B=\frac{5}{12}C; ezt és A=3-at behelyettesítve (3)-ba,

27 - 9\cdot \frac{5}{12}C + 3C = 45

C=-24.

Ezután B = \frac{5}{12}C = -10. Az A=3, B=-10, C=-24 valóban megoldása (1-3)-nak.

Az x,y,z számhármas akkor és csak akkor megoldásaz egyenletrendszernek, ha x, y és z a

t3-At2+Bt-C=t3-3t2-10t+24=(t-4)(t-2)(t+3)

polinom három gyöke. Az egyenletrendszer megoldásai a (-3,2,4) számhármas és permutációi.

Statisztika:

89 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:67 versenyző.
3 pontot kapott:10 versenyző.
2 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:8 versenyző.
Nem versenyszerű:3 dolgozat.

A KöMaL 2013. májusi matematika feladatai