A B. 4547. feladat (2013. május)

B. 4547. Adjuk meg a

kifejezés minimális értékét.

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A kifejezés minden valós $\displaystyle x$-re értelmezett, mivel

$\displaystyle \sqrt{1-x+x^{2}}+\sqrt{1-\sqrt{3}\cdot x+x^{2}} =$

$\displaystyle = \sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{\!\!2} +\bigg(\frac{\sqrt{3}}{2}\,\bigg)^{\!\!2}} +\sqrt{\bigg(x-\frac{\sqrt{3}}{2}\,\bigg)^{\!\!2} +\left(\frac{1}{2}\right)^{\!\!2}}.$

Legyenek a derékszögű koordináta-rendszerben az $\displaystyle A$ pont koordinátái $\displaystyle \left( \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, a $\displaystyle B$ pont koordinátái $\displaystyle \left(\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right)$, továbbá a $\displaystyle C$ pont koordinátái $\displaystyle (x; 0)$. Az $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$ pontok helye rögzített, míg a $\displaystyle C$ pont az $\displaystyle x$-tengely tetszőleges pontja. Ekkor

$\displaystyle AC =\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{\!\!2} +\bigg(\frac{\sqrt{3}}{2}\,\bigg)^{\!\!2}}, \qquad BC =\sqrt{\bigg(x-\frac{\sqrt{3}}{2}\,\bigg)^{\!\!2} +\left(\frac{1}{2}\right)^{\!\!2}}.$

Az tehát a kérdés, hogy az $\displaystyle x$-tengely melyik pontjára lesz az $\displaystyle AC+BC$ hossza minimális. Ha a $\displaystyle C$ pont az $\displaystyle AB$ szakasz és az $\displaystyle x$-tengely metszéspontja, akkor a két távolság összege éppen az $\displaystyle AB$ szakasz hosszával egyenlő, minden más $\displaystyle C'$ pontjára teljesül a háromszög-egyenlőtlenség:

$\displaystyle AC'+BC'>AB.$

A keresett minimum az $\displaystyle AB$ távolság:

$\displaystyle AB =\sqrt{\bigg(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\,\bigg)^{\!\!2} +\left(\frac{\sqrt{3}}{2} -\left(-\frac{1}{2}\right)\right)^{\!\!2}}=$

$\displaystyle =\sqrt{2\cdot \bigg(\frac{\sqrt{3}}{2} \,\bigg)^{\!\!2}+2\cdot \left(\frac{1}{2} \right)^{\!\!2}} =\sqrt{\frac{3}{2}+\frac{1}{2}}=\sqrt{2}.$

Ezt a minimális értéket arra a pontra kapjuk, amelyben az $\displaystyle AB$ egyenes metszi az $\displaystyle x$-tengelyt.

Az $\displaystyle AB$ egyenes egyenlete

$\displaystyle \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}}\cdot x +\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\cdot \left(\!-\frac{1}{2}\right)}{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}}=y,$

$\displaystyle y=\frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}}\cdot x+\frac{2}{\sqrt{3}-1}.$

Az $\displaystyle x$-tengellyel a metszéspont az a pont lesz, amelynek második koordinátája $\displaystyle 0$.

$\displaystyle x=\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1.$

Tehát az $\displaystyle \textstyle \sqrt{1-x+x^{2}}+\sqrt{1-\sqrt{3}\cdot x+x^{2}}$ kifejezés minimuma $\displaystyle \sqrt{2}$, minimumhelye $\displaystyle x=\sqrt{3}-1$.

Nagy-György Pál (Radnóti Miklós Kísérleti Gimnázium, Szeged, 10. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

69 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Balogh Menyhért, Bereczki Zoltán, Bingler Arnold, Bogár Blanka, Csépai András, Csurgai-Horváth Bálint, Demeter Dániel, Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Emri Tamás, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Gyulai-Nagy Szuzina, Herczeg József, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Katona Dániel, Kovács 101 Dávid Péter, Kovács 972 Márton, Kúsz Ágnes, Leitereg Miklós, Lelkes János, Mezősi Máté, Nagy Róbert, Nagy-György Pál, Petrényi Márk, Sagmeister Ádám, Schwarcz Tamás, Stein Ármin, Szabó 928 Attila, Szőke Tamás, Tossenberger Tamás, Venczel Tünde, Vető Bálint, Wiandt Péter, Williams Kada.
4 pontot kapott:	18 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

A KöMaL 2013. májusi matematika feladatai