Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4547. feladat (2013. május)

B. 4547. Adjuk meg a

\sqrt{1-x+x^{2}}+\sqrt{1-\sqrt{3}\cdot x+x^{2}}

kifejezés minimális értékét.

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A kifejezés minden valós \(\displaystyle x\)-re értelmezett, mivel

\(\displaystyle \sqrt{1-x+x^{2}}+\sqrt{1-\sqrt{3}\cdot x+x^{2}} = \)

\(\displaystyle = \sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{\!\!2} +\bigg(\frac{\sqrt{3}}{2}\,\bigg)^{\!\!2}} +\sqrt{\bigg(x-\frac{\sqrt{3}}{2}\,\bigg)^{\!\!2} +\left(\frac{1}{2}\right)^{\!\!2}}.\)

Legyenek a derékszögű koordináta-rendszerben az \(\displaystyle A\) pont koordinátái \(\displaystyle \left( \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\), a \(\displaystyle B\) pont koordinátái \(\displaystyle \left(\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right)\), továbbá a \(\displaystyle C\) pont koordinátái \(\displaystyle (x; 0)\). Az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontok helye rögzített, míg a \(\displaystyle C\) pont az \(\displaystyle x\)-tengely tetszőleges pontja. Ekkor

\(\displaystyle AC =\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{\!\!2} +\bigg(\frac{\sqrt{3}}{2}\,\bigg)^{\!\!2}}, \qquad BC =\sqrt{\bigg(x-\frac{\sqrt{3}}{2}\,\bigg)^{\!\!2} +\left(\frac{1}{2}\right)^{\!\!2}}.\)

Az tehát a kérdés, hogy az \(\displaystyle x\)-tengely melyik pontjára lesz az \(\displaystyle AC+BC\) hossza minimális. Ha a \(\displaystyle C\) pont az \(\displaystyle AB\) szakasz és az \(\displaystyle x\)-tengely metszéspontja, akkor a két távolság összege éppen az \(\displaystyle AB\) szakasz hosszával egyenlő, minden más \(\displaystyle C'\) pontjára teljesül a háromszög-egyenlőtlenség:

\(\displaystyle AC'+BC'>AB. \)

A keresett minimum az \(\displaystyle AB\) távolság:

\(\displaystyle AB =\sqrt{\bigg(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\,\bigg)^{\!\!2} +\left(\frac{\sqrt{3}}{2} -\left(-\frac{1}{2}\right)\right)^{\!\!2}}= \)

\(\displaystyle =\sqrt{2\cdot \bigg(\frac{\sqrt{3}}{2} \,\bigg)^{\!\!2}+2\cdot \left(\frac{1}{2} \right)^{\!\!2}} =\sqrt{\frac{3}{2}+\frac{1}{2}}=\sqrt{2}.\)

Ezt a minimális értéket arra a pontra kapjuk, amelyben az \(\displaystyle AB\) egyenes metszi az \(\displaystyle x\)-tengelyt.

Az \(\displaystyle AB\) egyenes egyenlete

\(\displaystyle \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}}\cdot x +\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\cdot \left(\!-\frac{1}{2}\right)}{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}}=y,\)

\(\displaystyle y=\frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}}\cdot x+\frac{2}{\sqrt{3}-1}.\)

Az \(\displaystyle x\)-tengellyel a metszéspont az a pont lesz, amelynek második koordinátája \(\displaystyle 0\).

\(\displaystyle x=\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1. \)

Tehát az \(\displaystyle \textstyle \sqrt{1-x+x^{2}}+\sqrt{1-\sqrt{3}\cdot x+x^{2}}\) kifejezés minimuma \(\displaystyle \sqrt{2}\), minimumhelye \(\displaystyle x=\sqrt{3}-1\).

Nagy-György Pál (Radnóti Miklós Kísérleti Gimnázium, Szeged, 10. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

69 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Balogh Menyhért, Bereczki Zoltán, Bingler Arnold, Bogár Blanka, Csépai András, Csurgai-Horváth Bálint, Demeter Dániel, Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Emri Tamás, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Gyulai-Nagy Szuzina, Herczeg József, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Katona Dániel, Kovács 101 Dávid Péter, Kovács 972 Márton, Kúsz Ágnes, Leitereg Miklós, Lelkes János, Mezősi Máté, Nagy Róbert, Nagy-György Pál, Petrényi Márk, Sagmeister Ádám, Schwarcz Tamás, Stein Ármin, Szabó 928 Attila, Szőke Tamás, Tossenberger Tamás, Venczel Tünde, Vető Bálint, Wiandt Péter, Williams Kada.
4 pontot kapott:18 versenyző.
3 pontot kapott:3 versenyző.
2 pontot kapott:3 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.
Nem versenyszerű:5 dolgozat.

A KöMaL 2013. májusi matematika feladatai