A B. 4549. feladat (2013. május)

B. 4549. Bizonyítsuk be, hogy bármely háromszögben a szögek szinuszának összege legalább akkora, mint a kétszeres szögek szinuszának az összege.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. június 10-én LEJÁRT.

Megoldási ötlet: A két oldal különbségét csoportosítsuk.

Megoldásvázlat: Legyenek a szögek $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ . A $\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}2\cos\frac{x-y}2$ azonosság alapján, figyelmbe véve, hogy sin $\gamma$ >0,

$\frac{\sin 2\alpha + \sin 2\alpha}2 = \sin(\alpha+\beta) \cos (\alpha-\beta)= \sin \gamma \cos (\alpha-\beta) \le \sin \gamma.$

(*)

Ezt a másik két párra is felírva és összeadva éppen a bizonyítandó állítást kapjuk.

A (*) becslésben akkor van egyenlőség, ha cos ( $\alpha$ - $\beta$ )=1, azaz $\alpha$ = $\beta$ . Ahhoz, hogy az állításban egyenlőség álljon fenn, szükséges és elégséges, hogy mindhárom becslésben egyenlőség álljon, azaz bármelyik két szög megegyezzen. Ezért az állításban akkor és csak akkor van egyenlőség, ha a háromszög szabályos.

Statisztika:

52 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Balogh Tamás, Bingler Arnold, Bogár Blanka, Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Kovács 972 Márton, Lelkes János, Nagy-György Pál, Porupsánszki István, Sagmeister Ádám, Schwarcz Tamás, Szabó 789 Barnabás, Szőke Tamás, Tossenberger Tamás, Venczel Tünde, Williams Kada.

4 pontot kapott: Ágoston Péter, Bereczki Zoltán, Boguszlavszkij Gergely, Csépai András, Csernák Tamás, Czövek Márton, Fehér Zsombor, Fekete Panna, Gyulai-Nagy Szuzina, Herczeg József, Juhász 995 Mátyás Péter, Kátay Tamás, Kúsz Ágnes, Leipold Péter, Maga Balázs, Mócsy Miklós, Nagy Róbert, Osváth Tibor Attila, Paulovics Zoltán, Petrényi Márk, Seress Dániel, Simkó Irén, Sütő Máté, Szabó 928 Attila, Vályi András, Zilahi Tamás.

3 pontot kapott: 1 versenyző.

0 pontot kapott: 1 versenyző.

Nem versenyszerű: 3 dolgozat.

A KöMaL 2013. májusi matematika feladatai

52 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Balogh Tamás, Bingler Arnold, Bogár Blanka, Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Kovács 972 Márton, Lelkes János, Nagy-György Pál, Porupsánszki István, Sagmeister Ádám, Schwarcz Tamás, Szabó 789 Barnabás, Szőke Tamás, Tossenberger Tamás, Venczel Tünde, Williams Kada.
4 pontot kapott:	Ágoston Péter, Bereczki Zoltán, Boguszlavszkij Gergely, Csépai András, Csernák Tamás, Czövek Márton, Fehér Zsombor, Fekete Panna, Gyulai-Nagy Szuzina, Herczeg József, Juhász 995 Mátyás Péter, Kátay Tamás, Kúsz Ágnes, Leipold Péter, Maga Balázs, Mócsy Miklós, Nagy Róbert, Osváth Tibor Attila, Paulovics Zoltán, Petrényi Márk, Seress Dániel, Simkó Irén, Sütő Máté, Szabó 928 Attila, Vályi András, Zilahi Tamás.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?