Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4553. feladat (2013. szeptember)

B. 4553. Melyek azok a k pozitív egész számok, amelyekre 2.3k tökéletes szám?

(3 pont)

A beküldési határidő 2013. október 10-én LEJÁRT.


Megoldásvázlat. Az n=2.3k szám pozitív osztói az 1,3,3^2\ldots,3^k és a 2,2\cdot3,2\cdot3^2,\ldots,2\cdot3^k számok; összegük, a mértani sorozat összegképletét felhasználva,


\sigma(n) = \sigma(2\cdot 3^{k}) =
1+3+3^2+\ldots+3^k+2+2\cdot3+2\cdot3^2+\ldots+2\cdot3^k =


= 3(1+3+3^2+\ldots+3^k) = 3\cdot\frac{3^{k+1}-1}2 =
3\cdot\frac{3\frac{n}2-1}2 = \frac{9n-6}4.

Az n szám akkor "tökéletes", ha \sigma(n)=2n, azaz


\frac{9n-6}4 = 2n

n=6=2.31.

Az egyetlen megoldás tehát a k=1.

Megjegyzés. Ismert, hogy a páros tökéletes számok a 2p-1(2p-1) alakú számok, ahol 2p-1 prím. A 2p-1 alakú prímszámokat Mersenne-prímnek nevezik.


Statisztika:

311 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:229 versenyző.
2 pontot kapott:25 versenyző.
1 pontot kapott:38 versenyző.
0 pontot kapott:19 versenyző.

A KöMaL 2013. szeptemberi matematika feladatai