Problem B. 4564. (October 2013)
B. 4564. Prove that if n+1<k<2n then n distinct lines cannot divide the plane into k parts.
(4 pont)
Deadline expired on November 11, 2013.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldásvázlat. Ha mind az n egyenes párhuzamos, akkor a síkot pontosan n+1 részre osztják. Tegyük tehát fel, hogy van két olyan az egyenesek között, e1 és e2, ami metszi egymást. Rajzoljuk meg ezeket először, majd egyesével a többit.
Minden egyes új ei egyenes elmetszi e1 és e2 közül legalább az egyiket, ezért az ei egyenes legalább két darabból áll. Ezek a darabok kettéosztanak egy-egy síkrészt; a síkrészek száma pontosan annyival nő, mint ahány darabra osztják ei-t a korábban megrajzolt egyenesek.
Az első két egyenes 4 részre osztja a síkot, minden egyes új egyenes legalább 2-vel növeli a síkrészek számát, tehát az n egyenes legalább 2n részre osztja a síkot.
Statistics:
214 students sent a solution. 4 points: 106 students. 3 points: 41 students. 2 points: 44 students. 1 point: 13 students. 0 point: 7 students. Unfair, not evaluated: 3 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2013