A B. 4564. feladat (2013. október)

B. 4564. Mutassuk meg, hogy ha n+1<k<2n, akkor n különböző egyenes nem oszthatja a síkot k részre.

(4 pont)

A beküldési határidő 2013. november 11-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Ha mind az n egyenes párhuzamos, akkor a síkot pontosan n+1 részre osztják. Tegyük tehát fel, hogy van két olyan az egyenesek között, e₁ és e₂, ami metszi egymást. Rajzoljuk meg ezeket először, majd egyesével a többit.

Minden egyes új e_i egyenes elmetszi e₁ és e₂ közül legalább az egyiket, ezért az e_i egyenes legalább két darabból áll. Ezek a darabok kettéosztanak egy-egy síkrészt; a síkrészek száma pontosan annyival nő, mint ahány darabra osztják e_i-t a korábban megrajzolt egyenesek.

Az első két egyenes 4 részre osztja a síkot, minden egyes új egyenes legalább 2-vel növeli a síkrészek számát, tehát az n egyenes legalább 2n részre osztja a síkot.

Statisztika:

214 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	106 versenyző.
3 pontot kapott:	41 versenyző.
2 pontot kapott:	44 versenyző.
1 pontot kapott:	13 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2013. októberi matematika feladatai