Problem B. 4565. (October 2013)
B. 4565. Find all positive integers for which .
(XXII. Hungarian Mathematics Competition of Transsylvania)
(4 pont)
Deadline expired on November 11, 2013.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Rendezzük az egyenletben az egyik oldalra az tagot, szorozzunk be -szal, majd emeljük négyzetre:
Láthatjuk, hogy racionális, ami csak úgy lehetséges, ha x egy négyzetszám kétszerese: x=2a2 valamilyen pozitív egész a-val.
Most rendezzük az egyik oldalra a tagot, szorozzunk be -szal, majd emeljük négyzetre:
Ebből azt láthatjuk, hogy racionális, azaz y egy négyzetszám kétszerese, y=2b2 valamilyen pozitív egész b-vel.
Az egyenletet írjuk át az a,b változókra:
Szorozzunk be ab-vel, és rendezzük úgy az egyenletet, hogy az a,b változókat tartalmazó tagok teljes szorzatot alkotssanak:
3b+2a=ab
6=ab-2a-3b+6
6=(a-3)(b-2).
A 6 lehetséges szorzattá alakításaiből a következő megoldásokat kapjuk:
|
Tehát az egyenlet negoldásai a következő számpárok: (32,128), (50,50), (72,32), (162,18).
Megjegyzés. Nem nehéz különböző alsó és felső becsléseket találni az x és y változókra. Például a baloldalon álló tagok külön-külön kisebbek, mint a jobboldal: és , ebből látható, hogy x19 és y9. Az is látható, hogy x és y valamelyike legfeljebb 50. Innen kezdve akár azt is megtehetnénk, hogy végigpróbáljuk az x=19,20,...,50 és y=9,10,...,50 eseteket.
Statistics:
160 students sent a solution. 4 points: 96 students. 3 points: 10 students. 2 points: 22 students. 1 point: 19 students. 0 point: 13 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2013