Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4565. feladat (2013. október)

B. 4565. Határozzuk meg azokat a pozitív egész számokat, amelyekre

\frac{3}{\sqrt{x}} + \frac{2}{\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.

(XXII. Erdélyi Magyar Matematikaverseny)

(4 pont)

A beküldési határidő 2013. november 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Rendezzük az egyenletben az egyik oldalra az \frac2{\sqrt{y}} tagot, szorozzunk be \sqrt{2xy}-szal, majd emeljük négyzetre:

\frac2{\sqrt{y}} = \frac1{\sqrt2} - \frac3{\sqrt{x}}

2\sqrt{2x} = \sqrt{xy}-3\sqrt{2y}

8x = xy - 6y\sqrt{2x} + 18y.

Láthatjuk, hogy \sqrt{2x} racionális, ami csak úgy lehetséges, ha x egy négyzetszám kétszerese: x=2a2 valamilyen pozitív egész a-val.

Most rendezzük az egyik oldalra a \frac3{\sqrt{x}} tagot, szorozzunk be \sqrt{2xy}-szal, majd emeljük négyzetre:

\frac3{\sqrt{x}} = \frac1{\sqrt2} - \frac2{\sqrt{y}}

3\sqrt{2y} = \sqrt{xy}-2\sqrt{2x}

18y = xy -4x\sqrt{2y} + 8x.

Ebből azt láthatjuk, hogy \sqrt{2y} racionális, azaz y egy négyzetszám kétszerese, y=2b2 valamilyen pozitív egész b-vel.

Az egyenletet írjuk át az a,b változókra:

\frac{3}{\sqrt{2a^2}} + \frac{2}{\sqrt{2b^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}},

\frac3a + \frac2b = 1.

Szorozzunk be ab-vel, és rendezzük úgy az egyenletet, hogy az a,b változókat tartalmazó tagok teljes szorzatot alkotssanak:

3b+2a=ab

6=ab-2a-3b+6

6=(a-3)(b-2).

A 6 lehetséges szorzattá alakításaiből a következő megoldásokat kapjuk:

a-3 b-2 a b x y
6 1 9 3 162 18
3 2 6 4 72 32
2 3 5 5 50 50
1 6 4 8 32 128
-6 -1 -3 1 Nem adnak megoldást
-3 -2 0 0
-2 -3 1 -1
-1 -6 2 -4

Tehát az egyenlet negoldásai a következő számpárok: (32,128), (50,50), (72,32), (162,18).

Megjegyzés. Nem nehéz különböző alsó és felső becsléseket találni az x és y változókra. Például a baloldalon álló tagok külön-külön kisebbek, mint a jobboldal: \frac{3}{\sqrt{x}} < \frac{1}{\sqrt{2}} és \frac{2}{\sqrt{y}} < \frac{1}{\sqrt{2}}, ebből látható, hogy x\ge19 és y\ge9. Az is látható, hogy x és y valamelyike legfeljebb 50. Innen kezdve akár azt is megtehetnénk, hogy végigpróbáljuk az x=19,20,...,50 és y=9,10,...,50 eseteket.

Statisztika:

160 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:96 versenyző.
3 pontot kapott:10 versenyző.
2 pontot kapott:22 versenyző.
1 pontot kapott:19 versenyző.
0 pontot kapott:13 versenyző.

A KöMaL 2013. októberi matematika feladatai