Problem B. 4567. (October 2013)
B. 4567. Determine all functions such that .
Suggested by B. Kovács, Szatmárnémeti
(5 pont)
Deadline expired on November 11, 2013.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Tetszőleges \(\displaystyle x_{0} \in \mathbb{R} \setminus \{0,1\}\) számra
\(\displaystyle \tag{1} f\left(\frac{x_{0}-1}{x_{0}}\right)+f\left(\frac{1}{1-x_{0}}\right)=2-2x_{0}.\)
Helyettesítsük most az eredeti egyenletben \(\displaystyle x\) helyébe az \(\displaystyle \dfrac{1}{1-x_{0}}\in \mathbb{R}\setminus \{0, 1\}\) számot:
\(\displaystyle \tag{2} f \left(\frac{\frac{1}{1-x_{0}}-1}{\frac{1}{1-x_{0}}}\right)+ f\left(\frac{1}{1-\frac{1}{1-x_{0}}}\right) = f (1-1+x_{0})+ f\left(\frac{1-x_{0}}{1-x_{0}-1}\right)= \)
\(\displaystyle = f(x_{0})+ f\left(\frac{x_{0}-1}{x_{0}}\right)=2-2\cdot \frac{1}{1-x_{0}}.\)
Most pedig alkalmazzunk \(\displaystyle x=\frac{x_{0}-1}{x_{0}}\) helyettesítést.
\(\displaystyle \tag{3} f\left(\frac{\frac{x_{0}-1}{x_{0}}-1}{\frac{x_{0}-1}{x_{0}}}\right) +f\left(\frac{1}{1-\frac{x_{0}-1}{x_{0}}}\right) =f\left(\frac{x_{0}-1-x_{0}}{x_{0}-1}\right) +f\left(\frac{x_{0}}{x_{0}-x_{0}+1}\right)= \)
\(\displaystyle = f\left(\frac{1}{1-x_{0}}\right)+ f (x_{0})=2-2\cdot \frac{x_{0}-1}{x_{0}}.\)
A \(\displaystyle (2)\) és \(\displaystyle (3)\) egyenletek összegéből vonjuk ki az eredeti \(\displaystyle (1)\) egyenletet, majd osszunk 2-vel és írjunk az egyenletben \(\displaystyle x_{0}\) helyett \(\displaystyle x\)-et.
\(\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}. \)
Az eredeti függvényegyenletbe helyettesítve ellenőrízhető, hogy ez a függvény valóban megoldás is:
\(\displaystyle f\left(\frac{x-1}{x}\right)+ f\left(\frac{1}{1-x}\right)= \)
\(\displaystyle = \frac{x-1}{x} +\frac{x}{x-1} +\frac{1}{\frac{x-1}{x}-1} +\frac{1}{1-x}+(1-x) +\frac{1}{\frac{1}{1-x}-1}= \)
\(\displaystyle = \frac{x-1}{x}+1-x+(1-x)+\frac{1-x}{x}=2-2x.\)
Szabó Tímea (Zalaegerszeg, Zrínyi Miklós Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján
Statistics:
97 students sent a solution. 5 points: 53 students. 4 points: 31 students. 3 points: 5 students. 2 points: 2 students. 1 point: 1 student. 0 point: 5 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2013