A B. 4569. feladat (2013. október)

B. 4569. Két tetraéderről tudjuk, hogy mindkettőnek pontosan 3 darab a hosszúságú és 3 darab b>a hosszúságú éle van. A b/a arány milyen értékeinél következik ebből, hogy a két tetraéder egybevágó?

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. november 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Vizsgáljuk meg, hogy az $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ hosszúságú élek egymáshoz képest hogyan helyezkedhetnek el egy $\displaystyle ABCD$ tetraéderben. Mivel a tetraédernek 4 csúcsa van, ezért biztosan van olyan csúcs, melyben legalább 2 darab $\displaystyle a$ hosszúságú él találkozik. Választhatjuk úgy a csúcsok jelölését, hogy $\displaystyle AB=AC=a$ legyen. Ha a harmadik $\displaystyle a$ hosszúságú él $\displaystyle BC$ vagy $\displaystyle AD$, akkor a tetraédernek van szabályos háromszöglapja, az első esetben $\displaystyle ABC$, a második esetben pedig $\displaystyle BCD$ (1. ábra). Ha a harmadik $\displaystyle a$ hosszúságú él nem $\displaystyle BC$ és nem is $\displaystyle AD$, akkor választhatjuk úgy a jelölést, hogy $\displaystyle BD$ hossza legyen $\displaystyle a$, ez a harmadik eset (2. ábra).

1. ábra                                                                          2. ábra

Meghatározzuk, hogy az egyes esetekben milyen $\displaystyle b/a$ arányok esetén létezik tetraéder.

Az első és a második esetben legyen a szabályos háromszöglap körülírt körének sugara $\displaystyle r$, a kör középpontja $\displaystyle K$, ennek és a tetraéder negyedik csúcsának távolsága pedig $\displaystyle m$. Az $\displaystyle ADK$ háromszög a tetraéderek szimmetriája miatt mindkét esetben derékszögű, ezért Pitagorasz tétele szerint $\displaystyle m^2=AD^2-r^2$. Pontosan akkor létezik tetraéder, ha $\displaystyle m>0$, azaz $\displaystyle AD>r$ teljesül. Ismert, hogy ha egy szabályos háromszög oldalának hossza $\displaystyle h$, akkor a háromszög körülírt körének sugara $\displaystyle h\sqrt{3}/3$. Tehát az első esetben mindig létezik tetraéder, mert $\displaystyle b>a$ miatt $\displaystyle b>a\sqrt{3}/3$ mindig teljesül, a második esetben pedig pontosan akkor van ilyen tetraéder, ha $\displaystyle a>b\sqrt{3}/3$, azaz $\displaystyle a\sqrt{3}>b$ fennáll.

3. ábra

A harmadik esetben először megkeressük azt az $\displaystyle a/b$ arányt, amikor a tetraéder négyszöggé fajul, azaz csúcsai egy síkba esnek. Ekkor az $\displaystyle ABDC$ négyszög oldalainak és átlóinak hosszát is ismerjük (3. ábra). Mivel megfelelő oldalaik hossza megegyezik, ezért a $\displaystyle CAB$ és $\displaystyle ABD$ háromszögek egybevágó egyenlőszárú háromszögek. Ebből következik, hogy $\displaystyle C$-nek az $\displaystyle AB$ szakasz felezőmerőlegesére vonatkozó tükörképe $\displaystyle D$, és ezért az $\displaystyle ABDC$ négyszög szimmetrikus trapéz.

Ha tehát $\displaystyle ABC\sphericalangle = \alpha$, akkor

$\displaystyle ACB\sphericalangle =BAD\sphericalangle =BDA\sphericalangle =\alpha \quad\text{és}\quad CAB\sphericalangle =ABD\sphericalangle =180^{\circ}-2\alpha.$

A trapéz alapjainak párhuzamossága miatt $\displaystyle ABC\sphericalangle$ és $\displaystyle DCB\sphericalangle$ váltószögek, és így $\displaystyle DCA\sphericalangle =DCB\sphericalangle +BCA\sphericalangle =2\alpha$. Az $\displaystyle ADC$ és a $\displaystyle BCD$ háromszögek is egybevágó egyenlő szárú háromszögek, vagyis $\displaystyle DAC\sphericalangle = DCA\sphericalangle =2\alpha$. Az $\displaystyle ABC$ háromszögben a szögek összegét felírva kapjuk, hogy

$\displaystyle 180^{\circ}=ABC\sphericalangle +BCA\sphericalangle +(BAD\sphericalangle +DAC\sphericalangle) =\alpha +\alpha +(\alpha +2\alpha)=5\alpha,$

amiből kapjuk, hogy $\displaystyle \alpha ={36}^{\circ}$. Ebből következik, hogy $\displaystyle DCA\sphericalangle =72^{\circ}$ és $\displaystyle ADC\sphericalangle ={36}^{\circ}$.

Ha az $\displaystyle ABDC$ trapéz átlóinak metszéspontja $\displaystyle M$, akkor $\displaystyle MD=MC$, továbbá

$\displaystyle AMC\sphericalangle =180^{\circ}-(BCA\sphericalangle +DAC\sphericalangle)= 180^{\circ}-({36}^{\circ} +72^{\circ})=72^{\circ}.$

Tehát az $\displaystyle AMC$ háromszög is egyenlő szárú, $\displaystyle MC=AC=a$, és a szögek egyezősége miatt hasonló az $\displaystyle ADC$ háromszöghöz. Ezért a két háromszögben a megfelelő oldalak aránya megegyezik, vagyis

$\displaystyle \frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AM}=\frac{AC}{AD-MD}=\frac{AC}{AD-MC}, \quad \text{azaz} \quad \frac{b}{a}=\frac{a}{b-a}.$

Ebből rendezés után

$\displaystyle \left(\frac{b}{a}\right)^{\!\!2}-\frac{b}{a}-1=0.$

A másodfokú egyenletet megoldva és figyelembe véve, hogy $\displaystyle b/a>1$, kapjuk hogy

$\displaystyle \frac{b}{a}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$

Számolásunkból a szinusztételt és a megfelelő addíciós tételt alkalmazva következik, hogy

$\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}=\frac{AD}{AC}=\frac{\sin {72}^{\circ}}{\sin {36}^{\circ}} =2\cos {36}^{\circ},$

ebből pedig kapjuk, hogy

$\displaystyle \sin {36}^{\circ}=\sqrt{1-\cos ^2 {36}^{\circ}}=\sqrt{1-\left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right)^{\!\!2}}= \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4},$

amiket a későbbiekben használni fogunk.

Megmutatjuk, hogy pontosan akkor létezik a harmadik esetben leírt tetraéder, ha

$\displaystyle 1<\frac{b}{a}<\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$

Ha létezik tetraéder, akkor a $\displaystyle D$ csúcs nincs benne az $\displaystyle ABC$ síkban. Forgassuk el a tetraéder $\displaystyle ABD$ lapját az $\displaystyle AB$ egyenes körül úgy, hogy a $\displaystyle D$ csúcs $\displaystyle D'$ képe az $\displaystyle ABC$ síkba kerüljön. Ekkor $\displaystyle ABD'C$ szimmetrikus trapéz, mert az $\displaystyle ABD'$ és $\displaystyle ABC$ háromszögek egybevágó egyenlőszárú háromszögek (4. ábra). Legyen $\displaystyle \gamma \eg ABC\sphericalangle = ACB\sphericalangle = BAD'\sphericalangle = BD'A\sphericalangle$.

4. ábra

Mivel az $\displaystyle AB$ egyenes körül forgatunk, ezért a forgatás során a $\displaystyle D$ pont egy olyan $\displaystyle \mathcal{S}$ síkban mozog, mely merőleges az $\displaystyle AB$ egyenesre. Ezért az $\displaystyle AB$-vel párhuzamos $\displaystyle CD'$ egyenes is merőleges $\displaystyle \mathcal{S}$-re. Ez viszont azt jelenti, hogy $\displaystyle \mathcal{S}$-nek a $\displaystyle C$-hez legközelebbi pontja $\displaystyle D'$, tehát $\displaystyle b=CD>CD'=c$. Mivel bármely háromszögben igaz, hogy nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van, ezért ekkor

$\displaystyle \delta =D'AC\sphericalangle <ACD'\sphericalangle =ACB\sphericalangle + BCD'\sphericalangle =ACB\sphericalangle +ABC\sphericalangle =2\gamma.$

Vagyis az $\displaystyle ABC$ háromszögben a szögek összegére kapjuk, hogy $\displaystyle 180^{\circ}=\delta +3\gamma <5\gamma$, tehát $\displaystyle {36}^{\circ}< \gamma$. Ezért a szinusztétel alapján

$\displaystyle \frac{b}{a}=\frac{AD'}{AC}=\frac{\sin 2\gamma}{\sin \gamma}=2\cos \gamma <2\cos {36}^{\circ}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$

Megfordítva, ha $\displaystyle 1<\frac{b}{a}<\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ teljesül, akkor legyen $\displaystyle D'$ az $\displaystyle ABC$ sík azon pontja, melyre $\displaystyle ABD'C$ szimmetrikus trapéz. A $\displaystyle b>a$ feltételből következik, hogy az $\displaystyle AB$ felezőmerőlegese által meghatározott két félsík közül $\displaystyle B$ és $\displaystyle D'$ az egyikben, $\displaystyle A$ és $\displaystyle C$ pedig a másikban van. Jelölje $\displaystyle \gamma$ és $\displaystyle \delta$ ugyanazokat a szögeket, mint az előző bekezdésben. Az $\displaystyle ABC$ egyenlőszárú háromszögből kapjuk, hogy

$\displaystyle \cos \gamma =\frac{\frac{BC}{2}}{AB}=\frac{b}{2a}.$

Tehát

$\displaystyle \frac{1}{2}<\cos \gamma <\frac{1+\sqrt{5}}{4}, \quad \text{azaz} \quad 60^{\circ} >\gamma > {36}^{\circ}.$

Ezért

$\displaystyle D'AC\sphericalangle =\delta =180^{\circ }-3\gamma < 72^{\circ }<2\gamma =D'CA\sphericalangle .$

S mivel bármely háromszögben nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van, ezért $\displaystyle CD'<AD'=b$.

Ha a $\displaystyle D'$-ből az $\displaystyle AB$ egyenesre állított merőleges talppontja $\displaystyle T,$ akkor

$\displaystyle D'T=b\sin \gamma >b\sin {36}^{\circ}=b\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}.$

Forgassuk az $\displaystyle ABD'$ háromszöget az $\displaystyle AB$ egyenes körül valamelyik irányban. A forgatás során $\displaystyle D'$ egy olyan $\displaystyle T$ középpontú körvonalon mozog, melynek síkja merőleges az $\displaystyle AB$ egyenesre és a $\displaystyle CD'$ távolság nyilván folytonosan változik. Amikor az elforgatás szöge éppen $\displaystyle 180^{\circ },$ azaz a $\displaystyle D'$ pont átkerül $\displaystyle D'$-nek az $\displaystyle AB$ egyenesre vonatkozó $\displaystyle D''$ tükörképébe, akkor a $\displaystyle CD'D''$ derékszögű háromszögből kapjuk, hogy

$\displaystyle CD''>D'D'' =2D'T> b\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}>b.$

Ezért a forgatás során lesz egy olyan helyzet, amikor $\displaystyle D'$ képének és $\displaystyle C$-nek a távolsága $\displaystyle b$. Az ehhez a helyzethez tartozó $\displaystyle ABCD$ tetraéder eleget tesz a feltételeknek.

A két tetraéder egybevágósága pontosan akkor következik a feladat feltételeiből, ha a három eset közül csak az egyikben leírt tetraéder valósítható meg. Mivel az első esethez tartozó tetraéder minden $\displaystyle b>a$ értékre létezik, ezért azt kell megnéznünk, hogy a másik két eset mikor nem építhető meg. A létezés feltétele a második esetben $\displaystyle b/a<\sqrt{3}$, a harmadikban pedig $\displaystyle b/a<\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Mivel $\displaystyle \sqrt{3}>\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, ezért a két tetraéder egybevágóságának feltétele a $\displaystyle b/a\ge \sqrt{3}$ egyenlőtlenség teljesülése.

Mándoki Sára (Budapesti Fazekas M. Ált. Isk. és Gimn., 11. évf.) dolgozatát felhasználva

Statisztika:

80 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Badacsonyi István András, Balogh Tamás, Csépai András, Di Giovanni Márk, Fekete Panna, Frank György, Gyulai-Nagy Szuzina, Kabos Eszter, Kovács 972 Márton, Maga Balázs, Mándoki Sára, Nagy-György Pál, Simkó Irén, Simon Kristóf, Viharos Loránd Ottó, Williams Kada.
4 pontot kapott:	Ágoston Péter, Kovács Miklós 996, Kúsz Ágnes, Olexó Gergely, Szász Dániel Soma, Thamó Emese.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	26 versenyző.
1 pontot kapott:	16 versenyző.
0 pontot kapott:	14 versenyző.

A KöMaL 2013. októberi matematika feladatai