Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4571. feladat (2013. október)

B. 4571. Tegyük fel, hogy az A2,A3,...,An független eseményekre

P(A_i)=\frac{1}{2i^2}.

Mennyi annak a valószínűsége, hogy A2,A3,...,An közül páratlan sok következik be?

(6 pont)

A beküldési határidő 2013. november 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen p annak a valószínűsége, hogy A2,A3,...,An közül páratlan sok következik be. Definiáljuk az X2,...,Xn valószínűségi változókat a következőképpen: legyen Xi=-1, ha Ai bekövetkezik, illetve Xi=+1, ha Ai nem következik be.

Az X2X3...Xn szorzat értéke pontosan akkor -1, ha A2,A3,...,An közül páratlan sok következik be, ellenkező esetben a szorzat +1. A szorzat várható értéke ezért

E(X2X3...Xn...)=p.(-1)+(1-p).(+1)=1-2p.(1)

Független változók szorzatának várható értékét tényezőnként is kiszámíthatjuk, ezért

E\big(X_2X_3\dots X_n\big) = \prod_{i=2}^n E(X_i) = \prod_{i=2}^n \Big(P(A_i)\cdot(-1)+(1-P(A_i))\cdot(+1)\Big) = \prod_{i=2}^n \big(1-2P(A_i)\big) =

= \prod_{i=2}^n \bigg(1-\frac1{i^2}\bigg) = \prod_{i=2}^n \frac{(i-1)(i+1)}{i^2} = \frac{(1\cdot3)\cdot(2\cdot4)\dots\big((n-1)(n+1)\big)}{2^2\cdot3^2\dots n^2} = \frac{n+1}{2n}. (2)

Az (1) és (2) összevetéséből

p = \frac{n-1}{4n}.

Statisztika:

41 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:Di Giovanni Márk, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Herczeg József, Kúsz Ágnes, Schwarcz Tamás, Szabó 789 Barnabás, Szőke Tamás.
5 pontot kapott:Ágoston Péter, Balogh Tamás, Bereczki Zoltán, Csernák Tamás, Fekete Panna, Frank György, Gáspár Attila, Geng Máté, Gyulai-Nagy Szuzina, Halácsy Gergely, Kabos Eszter, Kátay Tamás, Kovács 246 Benedek, Lajos Hanka, Leipold Péter, Maga Balázs, Mócsy Miklós, Nagy Gergely, Nagy-György Pál, Seress Dániel, Szécsi Péter, Talyigás Gergely, Thamó Emese, Williams Kada.
4 pontot kapott:2 versenyző.
3 pontot kapott:1 versenyző.
2 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:3 versenyző.

A KöMaL 2013. októberi matematika feladatai