A B. 4572. feladat (2013. november)

B. 4572. Oldjuk meg a következő egyenlőtlenség-rendszert az egész számpárok halmazán:

$11>2a-b,\quad 25>2b-a,\quad 42<3b-a \quad %> \rm{\'es}\quad 46<2a+b.$

(3 pont)

A beküldési határidő 2013. december 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. Mivel mindenhol egész számokról van szó, az egyenlőtlenségeket átírhatjuk úgy, hogy az egyenlőséget is megengedjük; ehhez a megfelelő konstanst kell 1-gyel növelnünk vagy csökkentenünk, az egyenlőtlenség irányától függően:

10 $\ge$ 2a-b,

(1)

24 $\ge$ 2b-a,

(2)

43 $\le$ 3b-a,

(3)

47 $\le$ 2a+b.

(4)

Az (1) és (2) alapján

3a=2(2a-b)+(2b-a) $\le$ 2^.10+24=44,

a $\le$ 14.

(5)

Hasonlóan,

3b=(2a-b)+2(2b-a) $\le$ 10+2^.24=58,

b $\le$ 19.

(6)

Az (5)-öt és (6)-ot beírva (4)-be,

47 $\le$ 2a+b $\le$ 2^.14+19=47.

Ez csak úgy lehetséges, ha a=14 és b=19.

Behelyettesítéssel ellenőrizük, hogy a (14,19) számpárra valóban teljesülnek a kívánt egyenlőtlenségek:

2a-b=2^.14-19=9<11,

2b-a=2^.19-14=24<25,

3b-a=3^.19-14=43>42,

végül

2a+b=2^.14+19=47>46.

Az egyenlőtlenségrendszer egyetlen megoldása tehát a (14,19) pár.

2. (grafikus) megoldás, vázlat:

Statisztika:

228 dolgozat érkezett.

3 pontot kapott: 166 versenyző.

2 pontot kapott: 13 versenyző.

1 pontot kapott: 11 versenyző.

0 pontot kapott: 28 versenyző.

Nem versenyszerű: 10 dolgozat.

A KöMaL 2013. novemberi matematika feladatai

228 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	166 versenyző.
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	28 versenyző.
Nem versenyszerű:	10 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?