A B. 4573. feladat (2013. november)

B. 4573. Mutassuk meg, hogy egy szabályos 27-szög bármely hét csúcsa közül kiválasztható négy, amelyek trapézt határoznak meg.

(Németországi versenyfeladat, 2012)

(6 pont)

A beküldési határidő 2013. december 10-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Húzzuk meg a hét kiválasztott csúcsot összekötő, összesen szakaszt. A szabályos 27-szög csúcsai között csak 13-féle távolság fordulhat elő, ezért a szakaszok között biztosan vannak egyenlő hosszúságúak.

Ha a hét pont között van négy különböző, A, B. C és D, amire AB=CD, akkor ezek mindenképpen trapézt határoznak meg (1. és 2. ábra). Két szakasz ezért csak úgy lehet egyenlő, ha az egyik végpontjuk közös.

Mivel 21 szakaszunk van, és legfeljebb csak 13-féle hosszúság, legalább 8 különböző olyan szakaszpár található, amely egyforma hosszúságú szakaszokból áll. A 7 csúcs között ezért van olyan A csúcs, ami legalább két szakaszpár esetén a közös végpont, azaz vannak olyan B,C,D,E csúcsok a többi hat között, amikre AB=AC és AC=AD. Ekkor viszont B,C,D,E trapézt határoz meg (3. ábra).

Statisztika:

61 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Ágoston Péter, Andó Angelika, Baran Zsuzsanna, Cseh Kristóf, Csernák Tamás, Fonyó Viktória, Gyulai-Nagy Szuzina, Lajkó Kálmán, Lajos Hanka, Leipold Péter, Leitereg Miklós, Maga Balázs, Öreg Botond, Sándor Krisztián, Szabó 789 Barnabás, Szegedi Áron, Talyigás Gergely, Williams Kada.
5 pontot kapott:	Babik Bálint, Badacsonyi István András, Csépai András, Dinev Georgi, Geng Máté, Kalló Kristóf, Khayouti Sára, Kocsis Júlia, Kovács 972 Márton, Nagy Simon József, Temesi András, Várkonyi Dorka, Viharos Loránd Ottó.
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	12 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2013. novemberi matematika feladatai