A B. 4576. feladat (2013. november)

B. 4576. Adott egy körön hat különböző pont. Kiválasztunk közülük hármat és az ezek által meghatározott háromszög magasságpontját összekötjük a másik három által meghatározott háromszög súlypontjával. Bizonyítsuk be, hogy az összes ilyen módon kapott szakasznak van közös pontja.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. december 10-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. A pontokat azonosítani fogjuk a kör kézppontjából induló helyvektoraikkal. Legyen a hat pont a,b,c,d,e,f. Azt fogjuk megmutatni, hogy a kiválasztott magasság- és súlypontot összekötő egyenes átmegy az ponton.

Az a,b,c,d,e,f pontok szerepe szimmetrikus, ezért feltehetjük, hogy az abc háromszög m=a+b+c magasságpontját kötjük össze a def háromszög súlypontjával.

Az ms szakaszt 3:1 arányban osztó pont éppen

Az ms egyenes tehát valóban átmegy az x ponton. (Ha m és s egybeesik, akkor x=m=s.

Statisztika:

52 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Péter, Bereczki Zoltán, Csanálosi Balázs, Csépai András, Di Giovanni Márk, Egyházi Anna, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Geng Máté, Gyulai-Nagy Szuzina, Katona Dániel, Kúsz Ágnes, Machó Bónis, Maga Balázs, Nagy Gergely, Nagy Simon József, Nagy-György Pál, Petrényi Márk, Ratkovics Gábor, Sal Kristóf, Sándor Krisztián, Sárosdi Zsombor, Schwarcz Tamás, Seress Dániel, Simkó Irén, Szabó 789 Barnabás, Szebellédi Márton, Szőke Tamás, Tulassay Zsolt, Williams Kada, Zarándy Álmos.
4 pontot kapott:	Babik Bálint, Balog Gergely, Boguszlavszkij Gergely, Bus Tamás, Gracia Dániel, Győrfi-Bátori András, Hajdók Bence, Herczeg József, Kovács 972 Márton, Lajos Hanka, Mócsy Miklós, Sütő Máté, Vető Bálint.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2013. novemberi matematika feladatai