A B. 4577. feladat (2013. november)

B. 4577. Oldjuk meg a következő egyenletet:

$\frac{(39-x)\root{5}\of{x-6}-(x-6)\root{5}\of{39-x}}{\root{5}\of{39-x}-\root{5}\of{x-6}}=30.$

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. december 10-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Legyen $a=\root{5}\of{39-x}$ és $b=\root{5}\of{x-6}$ . Ekkor

a⁵+b⁵=33,

(1)

és az egyenletbe behelyettesítve

$\frac{(39-x)\root{5}\of{x-6}-(x-6)\root{5}\of{39-x}}{\root{5}\of{39-x}-\root{5}\of{x-6}}= \frac{a^5b-ba^5}{a-b} = a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4 = 30.$

(2)

A konstanst elimináljuk úgy, hogy (1) 10-szereséből kivonjuk (2) 11-szeresét:

10(a⁵+b⁵)-11(a⁴b+a³b²+a²b³+ab⁴+b⁵)=0

(a+b)(a-2b)(2a-b)(5a²+2ab+5b²)=0.

Valamelyik tényező 0, tehát a=-b, a=2b, vagy b=2a. (Az 5a²+2ab+5b²=0 esetben a=b=0, ilyenkor a többi három ténytező is eltűnik.)

Ezeket behelyettesítve (1)-be, a=-b nem ad megoldást, az a=2b esetben a=2, b=1 és x=7, a b=2a esetben a=1, b=2 és x=38 adódik. Az egyenletbe belyettesítéssel ellenőrizzük, hogy ezek valóban megoldások. A két megoldás tehát: x₁=7, x₂=38.

Statisztika:

99 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Andó Angelika, Balogh Tamás, Bereczki Ádám, Bereczki Zoltán, Cseh Kristóf, Csépai András, Di Giovanni Márk, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Győrfi-Bátori András, Gyulai-Nagy Szuzina, Hansel Soma, Horeftos Leon, Juhász Kristóf, Khayouti Sára, Kovács 101 Dávid Péter, Kovács 246 Benedek, Kovács 972 Márton, Leipold Péter, Maga Balázs, Nagy Gergely, Nagy Odett, Nagy-György Pál, Nagy-György Zoltán, Pap-Takács Mónika, Petrényi Márk, Porupsánszki István, Sándor Krisztián, Sárosdi Zsombor, Schefler Barna, Schrettner Bálint, Seress Dániel, Simkó Irén, Tóth Adrián, Tulassay Zsolt, Varga 123 Péter, Viharos Loránd Ottó, Wiandt Péter, Williams Kada.

4 pontot kapott: 11 versenyző.

3 pontot kapott: 10 versenyző.

2 pontot kapott: 18 versenyző.

1 pontot kapott: 12 versenyző.

0 pontot kapott: 2 versenyző.

Nem versenyszerű: 6 dolgozat.

A KöMaL 2013. novemberi matematika feladatai

99 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Andó Angelika, Balogh Tamás, Bereczki Ádám, Bereczki Zoltán, Cseh Kristóf, Csépai András, Di Giovanni Márk, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Győrfi-Bátori András, Gyulai-Nagy Szuzina, Hansel Soma, Horeftos Leon, Juhász Kristóf, Khayouti Sára, Kovács 101 Dávid Péter, Kovács 246 Benedek, Kovács 972 Márton, Leipold Péter, Maga Balázs, Nagy Gergely, Nagy Odett, Nagy-György Pál, Nagy-György Zoltán, Pap-Takács Mónika, Petrényi Márk, Porupsánszki István, Sándor Krisztián, Sárosdi Zsombor, Schefler Barna, Schrettner Bálint, Seress Dániel, Simkó Irén, Tóth Adrián, Tulassay Zsolt, Varga 123 Péter, Viharos Loránd Ottó, Wiandt Péter, Williams Kada.
4 pontot kapott:	11 versenyző.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	18 versenyző.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?