Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4579. feladat (2013. november)

B. 4579. Ábrázoljuk a derékszögű koordináta-rendszerben azokat az (a;b) valós számpárokat, amelyekre az

x(x+4)+a(y2-1)+2by

kétváltozós polinom felbontható két elsőfokú polinom szorzatára.

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tegyük fel, hogy a polinom szorzattá alakítható:

x(x+4)+a(y2-1)+2by=(Ax+By+C)(Dx+Ey+F),

ahol A,B,C,D,E,F alkalmas valós számok. Az x2 együtthatója 1, ezért AD=1. Az első tényezőt A-val osztva, a második tényezőt D-vel osztva elérhetjük, hogy az x monom együtthatója mindkét tényezőben 1 legyen, azaz elég az olyan szorzatokat keresni, amikor A=D=1.

A szorzatot könnyen átalakíthatjuk két négyzet különbségévé a következőképpen:

x(x+4) + a\big(y^2-1\big) + 2by = (x+By+C)(x+Ey+F) = \left( x+\frac{B+E}2y+\frac{C+F}2\right)^2 - \left(\frac{B-E}y+\frac{C-F}2\right)^2;

bevezetve az P=\frac{B+E}2, Q=\frac{C+F}2, R=\frac{B-E}2, S=\frac{C-F}2 számokat,

x2+4x+ay2+2by-a=(x+Py+Q)2-(Ry+S)2.

Az egyes monomok együtthatóinak meg kell egyezniük a két oldalon. Mivel balolalon nincs xy, P=0; az x monom együtthatója pedig 4=2Q, vagyis csak Q=2 lehet:

x2+4x+ay2+2by-a=(x+2)2-(Ry+S)2

(Ry+S)2=-ay2-2by+(a+4).

Olyan a,b számokat kell keresnünk tehát, amikor a -ay2-2by+(a+4) polinom teljes négyzet.

1. eset: a=0. Ekkor az y2 együtthatója 0, vagyis R=0, és a négyzetben nem szerepelhet y, vagyis b=0. Tehát -ay2-2by+(a+4)=22, ami teljes négyzet.

2. eset: a\ne0. A polinom másodfokú, ezért akkor és csak akkor teljes négyzet, ha fő együtthatója pozitív (azaz a<0), és a diszkriminánsa nulla:

b2+a(a+4)=0

(a+2)2+b2=4.

Ez a (-2,0) középpontú, 2 sugarú kör egyenlete. A (0,0) pont kivételével az a<0 feltétel is teljesül. Ugyanakkor a (0,0) pont is megoldása a feladatnak az 1. esetben.

Megjegyzés. A polinomot mátrix alakba írhatjuk a következőképpen: x(x+4) + a\big(y^2-1\big) + 2by = (x,y,1) M \left(\matrix{x\cr y\cr 1}\right), ahol M= \left(\matrix{ 1 & 0 & 2 \cr 0 & a & b \cr 2 & b & -a \cr}\right). Ismeretes, hogy a polinom akkor és csak akkor alakítható szorzattá a komplex számok körében, ha det M=0. A tényezőkben szereplő együtthatók akkor valósak, ha az is teljesül, hogy a bal felső 2×2-es részmátrix determinánsa nempozitív.

Statisztika:

48 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Baran Zsuzsanna, Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Fonyó Viktória, Katona Dániel, Kocsis Júlia, Kovács Balázs Marcell, Lajkó Kálmán, Leipold Péter, Leitereg Miklós, Maga Balázs, Nagy-György Pál, Nemes György, Simkó Irén, Vágó Ákos, Varga 123 Péter, Vető Bálint, Viharos Loránd Ottó, Williams Kada.
4 pontot kapott:Balogh Tamás, Bereczki Zoltán, Bősze Zsófia, Cseh Kristóf, Egyházi Anna, Fekete Panna, Forrás Bence, Gáspár Attila, Kúsz Ágnes, Páli Petra, Schrettner Bálint, Szabó 524 Tímea, Varga Rudolf.
3 pontot kapott:3 versenyző.
2 pontot kapott:5 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:4 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2013. novemberi matematika feladatai