Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4580. feladat (2013. november)

B. 4580. Egy háromszög oldalai egy mértani, szögei pedig egy számtani sorozat egymást követő elemei. Bizonyítsuk be, hogy a háromszög egyenlő oldalú.

(3 pont)

A beküldési határidő 2013. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyenek a háromszög oldalalai a $\le$ b $\le$ c, a szemközti szögek $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ . Mivel az oldalak és a velük szemközti szögek rendezése azonos (nagyobb oldallal szemben nagyobb szög fekszik), $\alpha$ $\le$ $\beta$ $\le$ $\gamma$ .

A szögek akkor alkotnak számtani sorozatot, ha 2 $\beta$ = $\alpha$ + $\gamma$ , azaz

3 $\beta$ = $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ =180^o

$\beta$ =60^o.

A koszinusztételt felírva a b oldalra,

b²=a²+c²-2accos 60^o=a²+c²-ac.

(1)

A b oldal az oldalak között a középső, azaz b a másik két oldal mértani közepe:

b²=ac.

(2)

Az (1) és (2) egybevetéséből

a²+c²-ac=ac

(a-c)²=0

a=c.

Tehát, a háromszög legkisebb és legnagyobb oldala ugyanolyan hosszú, a háromszög szabályos.

Statisztika:

179 dolgozat érkezett.

3 pontot kapott: 144 versenyző.

2 pontot kapott: 12 versenyző.

1 pontot kapott: 11 versenyző.

0 pontot kapott: 11 versenyző.

Nem versenyszerű: 1 dolgozat.

A KöMaL 2013. novemberi matematika feladatai

179 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	144 versenyző.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	11 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.