 |
A B. 4596. feladat (2014. január) |
B. 4596. Oldjuk meg az
egyenletet.
(5 pont)
A beküldési határidő 2014. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az egyenlet bal oldalán álló negyedfokú polinomot több lépésben két másodfokú szorzatává alakítjuk. Az \(\displaystyle x^{4}-2\sqrt{3}x^{2}+3\) szorzattá alakítható, mivel teljes négyzet. Ezzel az egyenlet
\(\displaystyle \big(x^{2}-\sqrt{3}\,\big)^{2}+x-\sqrt{3}=0. \)
Az ismert \(\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) azonosságot előkészítve vonjunk le és adjunk is hozzá \(\displaystyle x^{2}\)-et a bal oldalhoz.
\(\displaystyle \big(x^{2}-\sqrt{3}\,\big)^{2}-x^{2}+x^{2}+x-\sqrt{3}=0, \)
az azonosság alkalmazása után pedig
\(\displaystyle \big(x^{2}-x- \sqrt{3}\,\big) \big(x^{2}+x-\sqrt{3}\,\big)+x^{2}+x-\sqrt{3}=0. \)
Most már kiemelhetünk \(\displaystyle \big(x^{2}+x-\sqrt{3}\,\big)\)-at is:
\(\displaystyle \big(x^{2}+x-\sqrt{3}\,\big) \big(x^{2}-x+1-\sqrt{3}\,\big)=0. \)
Szorzat abban az esetben lehet nulla, ha valamelyik tényezője nulla. Először nézzük azt az esetet, amikor
\(\displaystyle \big(x^{2}+x-\sqrt{3}\,\big)=0. \)
A megoldóképlet alapján kapunk két megoldást:
\(\displaystyle x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1+4\sqrt{3}}}{2}. \)
Tekintsük a másik esetet:
\(\displaystyle x^{2}-x+1-\sqrt{3}=0. \)
A megoldóképletet alkalmazva:
\(\displaystyle x_{3,4}=\frac{1\pm\sqrt{1-4+4\sqrt{3}}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{4\sqrt{3}-3}}{2}. \)
A megoldás során ekvivalens lépésekkel dolgoztunk, az egyenletnek mind a négy kapott valós szám megoldása.
Cseh Kristóf (Radnóti Miklós Kís. Gimn., Szeged, 9. évf.) dolgozata alapján
Megjegyzés: Az egyenlet szorzattá alakítása egy nem szokványos ötlettel rövidíthető. Az
\(\displaystyle x^{4}-2\sqrt{3}x^{2}+x+3-\sqrt{3}=0 \)
egyenlet a \(\displaystyle \sqrt{3}\)-ra, mint változóra nézve másodfokú.
\(\displaystyle \big(\sqrt{3}\,\big)^{2}- \big(2x^{2}+1\big) \sqrt{3}+x^{4}+x=0. \)
Írjuk fel most is a megoldóképletet:
\(\displaystyle \sqrt{3}=\frac{2x^{2}+1\pm\sqrt{4x^{4}+4x^{2}+1-4x^{4}-4x}}{2}=\frac{2x^{2}+1\pm |2x-1|}{2}. \)
Az ,,egyenlet'' két gyöke
\(\displaystyle \sqrt{3}=x^{2}+x, \quad \text{illetve} \quad \sqrt{3}=x^{2}-x+1. \)
Innen már adódik az egyenlet gyöktényezős alakja, a szorzattá alakítás:
\(\displaystyle \big(\sqrt{3}-x^{2}-x\big) \big(\sqrt{3}-x^{2}+x-1\big)=0. \)
Innen a megoldás már az előző szerint azonnal befejezhető.
Statisztika:
117 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 64 versenyző. 4 pontot kapott: 37 versenyző. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 5 versenyző. 0 pontot kapott: 7 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2014. januári matematika feladatai