A B. 4596. feladat (2014. január)

B. 4596. Oldjuk meg az

egyenletet.

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egyenlet bal oldalán álló negyedfokú polinomot több lépésben két másodfokú szorzatává alakítjuk. Az $\displaystyle x^{4}-2\sqrt{3}x^{2}+3$ szorzattá alakítható, mivel teljes négyzet. Ezzel az egyenlet

$\displaystyle \big(x^{2}-\sqrt{3}\,\big)^{2}+x-\sqrt{3}=0.$

Az ismert $\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ azonosságot előkészítve vonjunk le és adjunk is hozzá $\displaystyle x^{2}$-et a bal oldalhoz.

$\displaystyle \big(x^{2}-\sqrt{3}\,\big)^{2}-x^{2}+x^{2}+x-\sqrt{3}=0,$

az azonosság alkalmazása után pedig

$\displaystyle \big(x^{2}-x- \sqrt{3}\,\big) \big(x^{2}+x-\sqrt{3}\,\big)+x^{2}+x-\sqrt{3}=0.$

Most már kiemelhetünk $\displaystyle \big(x^{2}+x-\sqrt{3}\,\big)$-at is:

$\displaystyle \big(x^{2}+x-\sqrt{3}\,\big) \big(x^{2}-x+1-\sqrt{3}\,\big)=0.$

Szorzat abban az esetben lehet nulla, ha valamelyik tényezője nulla. Először nézzük azt az esetet, amikor

$\displaystyle \big(x^{2}+x-\sqrt{3}\,\big)=0.$

A megoldóképlet alapján kapunk két megoldást:

$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1+4\sqrt{3}}}{2}.$

Tekintsük a másik esetet:

$\displaystyle x^{2}-x+1-\sqrt{3}=0.$

A megoldóképletet alkalmazva:

$\displaystyle x_{3,4}=\frac{1\pm\sqrt{1-4+4\sqrt{3}}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{4\sqrt{3}-3}}{2}.$

A megoldás során ekvivalens lépésekkel dolgoztunk, az egyenletnek mind a négy kapott valós szám megoldása.

Cseh Kristóf (Radnóti Miklós Kís. Gimn., Szeged, 9. évf.) dolgozata alapján

Megjegyzés: Az egyenlet szorzattá alakítása egy nem szokványos ötlettel rövidíthető. Az

$\displaystyle x^{4}-2\sqrt{3}x^{2}+x+3-\sqrt{3}=0$

egyenlet a $\displaystyle \sqrt{3}$-ra, mint változóra nézve másodfokú.

$\displaystyle \big(\sqrt{3}\,\big)^{2}- \big(2x^{2}+1\big) \sqrt{3}+x^{4}+x=0.$

Írjuk fel most is a megoldóképletet:

$\displaystyle \sqrt{3}=\frac{2x^{2}+1\pm\sqrt{4x^{4}+4x^{2}+1-4x^{4}-4x}}{2}=\frac{2x^{2}+1\pm |2x-1|}{2}.$

Az ,,egyenlet'' két gyöke

$\displaystyle \sqrt{3}=x^{2}+x, \quad \text{illetve} \quad \sqrt{3}=x^{2}-x+1.$

Innen már adódik az egyenlet gyöktényezős alakja, a szorzattá alakítás:

$\displaystyle \big(\sqrt{3}-x^{2}-x\big) \big(\sqrt{3}-x^{2}+x-1\big)=0.$

Innen a megoldás már az előző szerint azonnal befejezhető.

Statisztika:

117 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	64 versenyző.
4 pontot kapott:	37 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2014. januári matematika feladatai