A B. 4598. feladat (2014. január)

B. 4598. Az ABCD húrnégyszög átlóinak metszéspontja E, az AB és CD oldalak felezőpontja K, illetve M, az E pont merőleges vetülete a BC és AD oldalon pedig L és N. Bizonyítsuk be, hogy a KM és LN egyenesek merőlegesek egymásra.

(Kvant)

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen az \(\displaystyle AE\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle F\), a \(\displaystyle BE\) szakaszé pedig \(\displaystyle G\). Az \(\displaystyle ANE\) és \(\displaystyle BLE\) háromszögek derékszögűek, ezért az \(\displaystyle AE\), illetve \(\displaystyle EB\) átmérőjű Thalész-körök ezen háromszögek köré írható körei, középpontjaik \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle G\). Emiatt \(\displaystyle AF=FE=FN\) és \(\displaystyle BG=GE=GL\).

Az \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszög, ezért \(\displaystyle CBD\sphericalangle =CAD\measuredangle =\varphi\), mivel a \(\displaystyle CD\) ívhez tartozó kerületi szögek. Így az előbbi derékszögű háromszögekben a középponti és kerületi szögek összefüggését felhasználva \(\displaystyle NFE\sphericalangle=2\varphi\) és \(\displaystyle EGL\sphericalangle =2\varphi\).

Az \(\displaystyle ABE\) háromszögben \(\displaystyle KF\) és \(\displaystyle KG\) középvonalak, ezért az \(\displaystyle EFKG\) négyszög paralelogramma, így szemközti szögei egyenlők: \(\displaystyle EFK\sphericalangle =KGE\sphericalangle =\alpha\).

Mivel \(\displaystyle KG=FE=FN\) és \(\displaystyle KF=GE=GL\), azért \(\displaystyle NFK\triangle \cong KGL\triangle\), mivel két oldaluk és a közbezárt szög megegyezik. Tehát \(\displaystyle NK=KL\), vagyis az \(\displaystyle LNK\) háromszög egyenlő szárú, így \(\displaystyle NL\) alapjának felezőmerőlegese átmegy a \(\displaystyle K\) ponton.

Hasonló gondolatmenettel belátható, hogy az \(\displaystyle LNM\) háromszög is egyenlő szárú, és \(\displaystyle LN\) alapjának felezőmerőlegese átmegy az \(\displaystyle M\) ponton.

Beláttuk, hogy az \(\displaystyle LN\) szakasz felezőmerőlegese átmegy \(\displaystyle K\) és \(\displaystyle M\) pontokon is, vagyis \(\displaystyle KM\) valóban merőleges az \(\displaystyle NL\) szakaszra, sőt még felezi is.

Az ábrán \(\displaystyle CBD\sphericalangle\) és \(\displaystyle CAD\sphericalangle\) hegyesszögek. Ilyenkor \(\displaystyle L\) és \(\displaystyle N\) pontok a \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle AD\) szakaszok belső pontjai. Ha a két szög tompaszög lenne, akkor ezek a pontok az \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle BC\) szakaszok meghosszabbításán keletkező külső pontok lesznek, de a gondolatmenet változatlanul működik.

Ha a két szög derékszög, akkor a pontok a \(\displaystyle CD\) szakasz Thalész-körén lesznek rajta, azaz \(\displaystyle L\) és \(\displaystyle N\) megegyezik az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontokkal. Ekkor \(\displaystyle KM\) egyenes a Thalész-kör átmérője, ami áthalad \(\displaystyle LN\), azaz \(\displaystyle AB\) húr felezőpontján, ezért éppen a húr felezőmerőlegese.

Győrfi-Bátor András (Kaposvár, Táncsics Mihály Gimn., 12. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

38 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Péter, Andi Gabriel Brojbeanu, Andó Angelika, Baran Zsuzsanna, Bereczki Zoltán, Boguszlavszkij Gergely, Bus Tamás, Cseh Kristóf, Csépai András, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Geng Máté, Győrfi-Bátori András, Gyulai-Nagy Szuzina, Kabos Eszter, Kocsis Júlia, Kovács 972 Márton, Kúsz Ágnes, Leitereg Miklós, Lengyel Ádám, Maga Balázs, Nagy Gergely, Nagy-György Pál, Petrényi Márk, Sal Kristóf, Sándor Krisztián, Sárosdi Zsombor, Schwarcz Tamás, Sütő Máté, Szőke Tamás, Williams Kada.
4 pontot kapott:	Dinev Georgi, Vető Bálint, Vu Mai Phuong, Zsók Bianka.
3 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2014. januári matematika feladatai