A B. 4598. feladat (2014. január)

B. 4598. Az ABCD húrnégyszög átlóinak metszéspontja E, az AB és CD oldalak felezőpontja K, illetve M, az E pont merőleges vetülete a BC és AD oldalon pedig L és N. Bizonyítsuk be, hogy a KM és LN egyenesek merőlegesek egymásra.

(Kvant)

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen az $\displaystyle AE$ szakasz felezőpontja $\displaystyle F$, a $\displaystyle BE$ szakaszé pedig $\displaystyle G$. Az $\displaystyle ANE$ és $\displaystyle BLE$ háromszögek derékszögűek, ezért az $\displaystyle AE$, illetve $\displaystyle EB$ átmérőjű Thalész-körök ezen háromszögek köré írható körei, középpontjaik $\displaystyle F$ és $\displaystyle G$. Emiatt $\displaystyle AF=FE=FN$ és $\displaystyle BG=GE=GL$.

Az $\displaystyle ABCD$ húrnégyszög, ezért $\displaystyle CBD\sphericalangle =CAD\measuredangle =\varphi$, mivel a $\displaystyle CD$ ívhez tartozó kerületi szögek. Így az előbbi derékszögű háromszögekben a középponti és kerületi szögek összefüggését felhasználva $\displaystyle NFE\sphericalangle=2\varphi$ és $\displaystyle EGL\sphericalangle =2\varphi$.

Az $\displaystyle ABE$ háromszögben $\displaystyle KF$ és $\displaystyle KG$ középvonalak, ezért az $\displaystyle EFKG$ négyszög paralelogramma, így szemközti szögei egyenlők: $\displaystyle EFK\sphericalangle =KGE\sphericalangle =\alpha$.

Mivel $\displaystyle KG=FE=FN$ és $\displaystyle KF=GE=GL$, azért $\displaystyle NFK\triangle \cong KGL\triangle$, mivel két oldaluk és a közbezárt szög megegyezik. Tehát $\displaystyle NK=KL$, vagyis az $\displaystyle LNK$ háromszög egyenlő szárú, így $\displaystyle NL$ alapjának felezőmerőlegese átmegy a $\displaystyle K$ ponton.

Hasonló gondolatmenettel belátható, hogy az $\displaystyle LNM$ háromszög is egyenlő szárú, és $\displaystyle LN$ alapjának felezőmerőlegese átmegy az $\displaystyle M$ ponton.

Beláttuk, hogy az $\displaystyle LN$ szakasz felezőmerőlegese átmegy $\displaystyle K$ és $\displaystyle M$ pontokon is, vagyis $\displaystyle KM$ valóban merőleges az $\displaystyle NL$ szakaszra, sőt még felezi is.

Az ábrán $\displaystyle CBD\sphericalangle$ és $\displaystyle CAD\sphericalangle$ hegyesszögek. Ilyenkor $\displaystyle L$ és $\displaystyle N$ pontok a $\displaystyle BC$ és $\displaystyle AD$ szakaszok belső pontjai. Ha a két szög tompaszög lenne, akkor ezek a pontok az $\displaystyle AD$ és $\displaystyle BC$ szakaszok meghosszabbításán keletkező külső pontok lesznek, de a gondolatmenet változatlanul működik.

Ha a két szög derékszög, akkor a pontok a $\displaystyle CD$ szakasz Thalész-körén lesznek rajta, azaz $\displaystyle L$ és $\displaystyle N$ megegyezik az $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$ pontokkal. Ekkor $\displaystyle KM$ egyenes a Thalész-kör átmérője, ami áthalad $\displaystyle LN$, azaz $\displaystyle AB$ húr felezőpontján, ezért éppen a húr felezőmerőlegese.

Győrfi-Bátor András (Kaposvár, Táncsics Mihály Gimn., 12. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

38 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Péter, Andi Gabriel Brojbeanu, Andó Angelika, Baran Zsuzsanna, Bereczki Zoltán, Boguszlavszkij Gergely, Bus Tamás, Cseh Kristóf, Csépai András, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Geng Máté, Győrfi-Bátori András, Gyulai-Nagy Szuzina, Kabos Eszter, Kocsis Júlia, Kovács 972 Márton, Kúsz Ágnes, Leitereg Miklós, Lengyel Ádám, Maga Balázs, Nagy Gergely, Nagy-György Pál, Petrényi Márk, Sal Kristóf, Sándor Krisztián, Sárosdi Zsombor, Schwarcz Tamás, Sütő Máté, Szőke Tamás, Williams Kada.
4 pontot kapott:	Dinev Georgi, Vető Bálint, Vu Mai Phuong, Zsók Bianka.
3 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2014. januári matematika feladatai