A B. 4602. feladat (2014. február)

B. 4602. Egy húrtrapéz átlói merőlegesek egymásra. Bizonyítsuk be, hogy a trapéz köré írható kör középpontjának az egyik alaptól mért távolsága egyenlő az átlók metszéspontjának a másik alaptól mért távolságával.

(3 pont)

A beküldési határidő 2014. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az ábra jelöléseit használva, legyenek \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) az alapok felezőpontjai, \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) az átlók felezőpontjai; \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) egyenlő távolságra vannak az alapoktól, így rajta vannak a trapéz középvonalán.

A trapéz átlói a körülírt kör húrjai, ezért felező merőlegesük átmegy a kör \(\displaystyle K\) középpontján. \(\displaystyle PM=QM\), ezért és a derékszögek miatt a \(\displaystyle PKQM\) négyszög négyzet.

Legyen a \(\displaystyle PQ\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle L\). Mivel \(\displaystyle L\) illeszkedik a trapéz középvonalára, \(\displaystyle LE=LF\). Az \(\displaystyle L\) pont a \(\displaystyle PKQM\) négyzet középpontja, így \(\displaystyle LM=LK\), vagyis

\(\displaystyle ME=LE-LM=LF-LK=KF, \)

és ezt kellett bizonyítanunk.

Kosztolányi Kata (Szeged, Radnóti M. Kís. Gimn., 9. évf.) megoldása alapján

Statisztika:

138 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Adorján Dániel, Andi Gabriel Brojbeanu, Antal Dóra, Balázs Ákos Miklós, Baran Zsuzsanna, Csépai András, Csitári Nóra, Egyházi Anna, Erdős Zoltán, Fellner Máté, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Gáspár Attila, Geng Máté, Gerliczky Bence, Győrfi-Bátori András, Heinc Emília, Janzer Orsolya Lili, Kátay Tamás, Katona Dániel, Kocsis Júlia, Kosztolányi Kata, Kovács 246 Benedek, Kovács 972 Márton, Kovács Balázs Marcell, Kúsz Ágnes, Lakatos Dániel, Lengyel Ádám, Márton Boldizsár, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Gergely, Nagy-György Zoltán, Németh 123 Balázs, Olexó Gergely, Páli Petra, Pap Tibor, Sági Olivér, Sal Kristóf, Szabó 157 Dániel, Szabó Norbert, Szalay Bence, Szűcs Kilián Ádám, Temesi András, Tóth 199 Viktor, Tóth Viktor, Vágó Ákos, Varga 123 Péter, Varga Rudolf, Wiandt Péter, Williams Kada.
2 pontot kapott:	50 versenyző.
1 pontot kapott:	17 versenyző.
0 pontot kapott:	18 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2014. februári matematika feladatai