A B. 4611. feladat (2014. február)

B. 4611. Tükrözzünk a térben valamilyen sorrendben egy kocka mind a hat lapjának a síkjára. A hat tükrözés egymásutánja hány különböző transzformációt eredményez?

(6 pont)

A beküldési határidő 2014. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Vegyünk fel egy térbeli derékszögű koordinátarendszert úgy, hogy az origója legyen a kocka egyik csúcsa, tengelyei essenek egybe a kocka e csúcsán átmenő élegyeneseivel, az egységet pedig válasszuk úgy, hogy a kocka origóval szemközti csúcsa az $\displaystyle (1;1;1)$ pont legyen.

Ekkor a kocka lapsíkjainak egyenletei rendre $\displaystyle X=0$, $\displaystyle X=1$, $\displaystyle Y=0$, $\displaystyle Y=1$, $\displaystyle Z=0$ és $\displaystyle Z=1$ (1. ábra). Az e síkokra való tükrözések egy tetszőleges $\displaystyle (a;b;c)$ pontot rendre a $\displaystyle (-a;b;c)$, $\displaystyle (2-a;b;c)$, $\displaystyle (a;-b;c)$, $\displaystyle (a;2-b;c)$, $\displaystyle (a;b;-c)$ és $\displaystyle (a;b;2-c)$ pontokba visznek át. Tehát a tükrözések során mindig csak a pont egyik koordinátája változik, párhuzamos síkokra való tükrözések esetén ugyanaz a koordináta, merőleges síkokra való tükrözések esetén pedig más-más koordináta. Vagyis az egymásra merőleges síkokra való tükrözések sorrendje felcserélhető, két egymással párhuzamos síkra való tükrözés pedig a pontok két-két koordinátáját változatlanul hagyja, egy koordinátáját pedig vagy 2-vel növeli, vagy 2-vel csökkenti ($\displaystyle d\longmapsto -d \longmapsto 2-(-d)=d+2$, vagy $\displaystyle d\longmapsto 2-d \longmapsto -(2-d)=d-2$, 2. ábra), azaz e két tükrözés egymásutánja egy olyan 2 hosszú vektorral való eltolás, mely vektor párhuzamos valamelyik koordinátatengellyel.

1. ábra                                                                   2. ábra

A hat tükrözés után tehát az $\displaystyle (a;b;c)$ pont az $\displaystyle (a\pm 2;b\pm 2;c\pm 2)$ pontba kerül. Vagyis a tükrözések egymásutánja megfelel egy eltolásnak valamely $\displaystyle \mathbf{v}=(\pm 2;\pm 2;\pm 2)$ vektorral. Ezért az előjelek választásától (ami a párhuzamos síkokra való két-két tükrözés sorrendjén múlik) függően $\displaystyle 2^3=8$ különböző transzformációt kaphatunk.

Olexó Gergely (Budapesti Fazekas M. Ált. Isk. és Gimn., 9. évf.) dolgozata alapján

Megjegyzés. A hat tükrözés egymásutánjaként kapott eltolások mindegyikének iránya párhuzamos a kocka valamelyik testátlójával, hossza pedig a testátló kétszerese.

Statisztika:

82 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Ágoston Péter, Bereczki Ádám, Bereczki Zoltán, Csernák Tamás, Di Giovanni Márk, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Győrfi-Bátori András, Gyulai-Nagy Szuzina, Horeftos Leon, Kabos Eszter, Kátay Tamás, Katona Dániel, Khayouti Sára, Kovács 246 Benedek, Kovács Balázs Marcell, Kúsz Ágnes, Leitereg Miklós, Maga Balázs, Nagy Gergely, Nagy Kartal, Nagy-György Pál, Olexó Gergely, Öreg Botond, Sándor Krisztián, Schwarcz Tamás, Simkó Irén, Szebellédi Márton, Szőke Tamás, Talyigás Gergely, Varga Rudolf, Williams Kada, Zsakó Ágnes.
5 pontot kapott:	21 versenyző.
4 pontot kapott:	11 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2014. februári matematika feladatai