A B. 4613. feladat (2014. március)

B. 4613. Legyen az $\displaystyle A_1B_1C_1D_1$ rombusz az $\displaystyle ABCD$ paralelogramma belsejében úgy, hogy az $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ és $\displaystyle \overrightarrow{A_1B_1}$, valamint a $\displaystyle \overrightarrow{BC}$ és $\displaystyle \overrightarrow{B_1C_1}$ vektorok egyirányúak. Mutassuk meg, hogy $\displaystyle ABCD$ pontosan akkor rombusz, ha az $\displaystyle AA_1D_1D$ és a $\displaystyle BCC_1B_1$ négyszögek területének összege egyenlő az $\displaystyle ABB_1A_1$ és a $\displaystyle CDD_1C_1$ négyszögek területének összegével.

(Matlap, Kolozsvár, Longáver Lajos nagybányai tanár feladata)

(3 pont)

A beküldési határidő 2014. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A feladat feltételei alapján az $\displaystyle A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ rombusz oldalai párhuzamosak az $\displaystyle ABCD$ paralelogramma oldalaival. Használjuk az 1. ábra jelöléseit és legyen $\displaystyle T_{ADD_{1}A_{1}}= T_{1}$, $\displaystyle T_{ABB_{1}A_{1}}=T_{2}$, $\displaystyle T_{BCC_{1}B_{1}}=T_{3}$, $\displaystyle T_{CDD_{1}C_{1}}=T_{4}$, valamint $\displaystyle m_{a}$ és $\displaystyle m_{b}$ a paralelogramma megfelelő magasságai, $\displaystyle T$ pedig a területe.

1. ábra

Ekkor $\displaystyle T_{1}+T_{3}=T_{2}+T_{4}$ pontosan akkor teljesül, ha

$\displaystyle \frac{(c+b)}{2}m_{1}+\frac{(c+b)}{2}m_{3}=\frac{(c+a)}{2}m_{2}+\frac{(c+a)}{2}m_{4},$

vagyis

$\displaystyle \frac{(c+b)}{2}(m_{1}+m_{3}) =\frac{(c+a)}{2}(m_{2}+m_{4}), \quad\text{azaz}$

$\displaystyle (c+b)(m_{b}-m) =(c+a)(m_{a}-m).$

Ez ekvivalens a $\displaystyle cm_{b}+T-bm=cm_{a}+T-am$ egyenlőséggel. Ebből következik, hogy a szemközti területek összegének egyenlősége nem függ a rombusz helyzetétől.

Helyezzük a rombuszt a paralelogramma $\displaystyle D$ csúcsához úgy, hogy $\displaystyle D=D_{1}$ legyen.

2. ábra

Ekkor az $\displaystyle ABB_{1}A_{1}$ és $\displaystyle BCC_{1}B_{1}$ trapézok területének egyenlőségét kell vizsgálni.

Húzzuk be a $\displaystyle BPB_{1}Q$ paralelogramma $\displaystyle BB_{1}$ átlóját. Ez felezi a paralelogramma területét, tehát elegendő az $\displaystyle APB_{1}A_{1}$ és $\displaystyle QCC_{1}B_{1}$ paralelogrammák területének egyenlőségét vizsgálni:

$\displaystyle T_{APB_{1}A_{1}}=(b-c)\cdot m \quad\text{és}\quad T_{QCC_{1}B_{1}}=(a-c)\cdot m.$

Így a két terület pontosan akkor egyenlő, ha $\displaystyle (b-c)=(a-c)$, vagyis ha $\displaystyle a=b$. Tehát az $\displaystyle ABCD$ paralelogramma pontosan akkor rombusz, ha $\displaystyle T_{1}+T_{3}=T_{2}{+T}_{4}$.

Szakács Lili Kata (Budapesti Fazekas M. Ált. Isk. és Gimn., 9. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

114 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Andi Gabriel Brojbeanu, Andó Angelika, Babik Bálint, Balogh Menyhért, Baran Zsuzsanna, Baráth Míra Kincső, Berta Dénes, Cseh Kristóf, Csépai András, Csitári Nóra, Fekete Panna, Fellner Máté, Forrás Bence, Gál Hanna, Geng Máté, Győrfi-Bátori András, Gyulai-Nagy Szuzina, Hraboczki Attila Márton, Janzer Orsolya Lili, Kacz Dániel, Kátay Tamás, Kocsis Júlia, Kosztolányi Kata, Kovács 246 Benedek, Kovács 972 Márton, Kovács Balázs Marcell, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Gergely, Németh 777 Róbert, Németh Hanna, Pálfi Mária, Petrényi Márk, Rossen Péter, Sal Kristóf, Schrettner Bálint, Smodics Roland, Szabó Norbert, Szakács Lili Kata, Szűcs Kilián Ádám, Tóth Ádám Bars, Tóth Viktor, Vágó Ákos, Varga 123 Péter, Várkonyi Dorka, Várkonyi Lídia, Wiandt Péter, Williams Kada.
2 pontot kapott:	40 versenyző.
1 pontot kapott:	22 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2014. márciusi matematika feladatai