A B. 4614. feladat (2014. március)

B. 4614. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle x_1,\dots,x_n\) és \(\displaystyle y_1,\dots,y_n\) olyan nemnegatív számokból álló monoton növő sorozatok, amelyekre az \(\displaystyle n\) tag összege 1.

\(\displaystyle a)\) Legfeljebb mekkora lehet \(\displaystyle \min_{1\le i\le n} |x_i-y_i|\)?

\(\displaystyle b)\) Legfeljebb mekkora lehet \(\displaystyle \sum_{i=1}^n{|x_i-y_i|}\)?

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. a) Ha \(\displaystyle n=1\), akkor \(\displaystyle x_1=y_1=1\), és így a feladatban kérdezett minimum értéke 0. A továbbiakban feltesszük, hogy \(\displaystyle n\geq 2\) és belátjuk, hogy a kérdezett minimum értéke \(\displaystyle \frac{1}{n}\).

Először is, \(\displaystyle \frac{1}{n}\) elérhető, például ha \(\displaystyle x_1=x_2=\dots=x_n=\frac{1}{n}\) és \(\displaystyle y_1=\dots=y_{n-1}=0\) és \(\displaystyle y_n=1\). (Ilyenkor \(\displaystyle |x_n-y_n|=\frac{n-1}{n}\geq\frac{1}{n}\) és minden \(\displaystyle 1\leq i<n\) egészre \(\displaystyle |x_i-y_i|=\frac{1}{n}\).) Másrészt \(\displaystyle \frac{1}{n}\)-nél nagyobb érték nem érhető el, mivel \(\displaystyle 0\leq x_1,y_1\le\frac{1}{n}\) nyilvánvalóan teljesül. (Hiszen az \(\displaystyle x_1,x_2,\dots,x_n\) számok közül a legkisebb nem lehet nagyobb az átlaguknál, így \(\displaystyle x_1\leq \frac{1}{n}\), és ehhez teljesen hasonlóan \(\displaystyle y_1\leq \frac{1}{n}\).) Így \(\displaystyle n=1\) esetén a válasz 0, \(\displaystyle n\geq 2\) esetén pedig \(\displaystyle \frac{1}{n}\).

b) Minden \(\displaystyle 1\leq i\leq n\) esetén teljesül, hogy \(\displaystyle |x_i-y_i|=\max(x_i,y_i)-\min(x_i,y_i)=x_i+y_i-2\min(x_i,y_i)\). Továbbá \(\displaystyle \min(x_n,y_n)\) értéke legalább \(\displaystyle \frac{1}{n}\), és így

\(\displaystyle \sum_{i=1}^n |x_i-y_i|\leq \sum_{i=1}^n \left(x_i+y_i-2\min(x_i,y_i)\right)\leq \left(\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)\right) -2\min(x_n,y_n)\leq 2-\frac{2}{n},\)

azaz a keresett maximum legfeljebb \(\displaystyle 2-\frac{2}{n}\) lehet. Ez azonban elő is fordulhat, hiszen az a) részben megadott \(\displaystyle x_1=x_2=\dots=x_n=\frac{1}{n}\) és \(\displaystyle y_1=\dots=y_{n-1}\), \(\displaystyle y_n=1\) sorozatokra a keresett érték éppen \(\displaystyle 2-\frac{2}{n}\). Tehát a keresett maximum értéke \(\displaystyle 2-\frac{2}{n}\).

Statisztika:

49 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Péter, Baran Zsuzsanna, Bereczki Zoltán, Cseh Kristóf, Csépai András, Csernák Tamás, Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Geng Máté, Katona Dániel, Kovács 972 Márton, Kúsz Ágnes, Lajkó Kálmán, Leitereg Miklós, Maga Balázs, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Kartal, Nagy-György Pál, Schrettner Bálint, Schwarcz Tamás, Simkó Irén, Szász Dániel Soma, Szebellédi Márton, Williams Kada, Zarándy Álmos.
4 pontot kapott:	Mócsy Miklós, Nagy Simon József, Sal Kristóf, Szőke Tamás.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2014. márciusi matematika feladatai