A B. 4619. feladat (2014. március)

B. 4619. Oldjuk meg az

\(\displaystyle x^{2}-4x+3=\sqrt{1+\sqrt{x-1}} \)

egyenletet.

Javasolta: Kovács Béla (Szatmárnémeti)

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás (Érdemes tanulmányozni Ábrahám Gábor: Az \(\displaystyle f^{-1}(x)=f(x)\) típusú egyenletekről, avagy az írástudók felelősége és egyéb érdekességek c. cikkét (KöMaL, 2010. december, és www.komal.hu/cikkek/abraham/abraham.h.shtml).) A négyzetgyök alatt nemnegatív szám áll: \(\displaystyle x\ge 1\). Mivel a jobb oldal ekkor pozitív, a bal oldal is az: \(\displaystyle x^2-4x+3=(x-1)(x-3)>0\). Mivel \(\displaystyle x<1\) nem teljesülhet, azt kapjuk, hogy \(\displaystyle x>3\). Az egyenletet átrendezve:

Az \(\displaystyle f\colon (3;+\infty)\to (2;+\infty)\), \(\displaystyle f(x)= {(x-2)}^2+1\) függvény szigorúan monoton növekvő, bijektív az értelmezési tartományán, ezért invertálható. Inverz függvénye az \(\displaystyle f^{-1}\colon (2;+\infty)\to (3;+\infty)\), \(\displaystyle f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}+2\). Vegyük itt mindkét oldal értékét \(\displaystyle f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}+2\)-nél:

\(\displaystyle f^{-1} \big(f^{-1}(x)\big) =\sqrt{1+\sqrt{x-1}}+2. \)

A jobb oldal épp (1) jobb oldala. Ezek alapján az egyenlet:

\(\displaystyle f^{-1} \big(f^{-1}(x)\big)=f(x), \)

ami pontosan akkor igaz, ha \(\displaystyle f^{-1}(x)=f \big(f(x)\big)\), vagyis ha \(\displaystyle x=f \big(f\big(f(x)\big)\big)\).

Mivel az \(\displaystyle f\) függvény szigorúan monoton növekvő, ezért \(\displaystyle f(x)>x\) esetén \(\displaystyle f\big(f(x)\big)>f(x)>x\), amiből \(\displaystyle f\big(f\big(f(x)\big)\big)>f\big(f(x)\big) >f(x)>x\) következik. Hasonlóan, ha \(\displaystyle f(x)<x\), akkor \(\displaystyle f\big(f\big(f(x)\big)\big) <f\big(f(x)\big)<f(x)<x\).

Tehát \(\displaystyle x=f\big(f\big(f(x)\big)\big)\) csak akkor teljesülhet, ha \(\displaystyle x=f(x)\), és ekkor valóban igaz is.

Így

\(\displaystyle {(x-2)}^2+1=x, \quad\text{amiből}\quad x^2-5x+5=0. \)

A megoldóképlet alapján \(\displaystyle x_{1,2}= \frac{5\pm\sqrt5}2\). Csak a nagyobb gyök teljesíti az \(\displaystyle x>3\) kikötést, vagyis \(\displaystyle x=\frac{5+\sqrt5}2\).

Behelyettesítve az eredeti egyenletbe, mindkét oldalon \(\displaystyle \frac{1+\sqrt5}2\) adódik, tehát a megoldás jó.

Lengyel Ádám (Budapest, Városmajori Gimn. és Kós K. Ált. Isk., 11. évf.) megoldása alapján

Statisztika:

82 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Andi Gabriel Brojbeanu, Borbényi Márton, Cseh Kristóf, Csépai András, Di Giovanni Márk, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Geng Máté, Győrfi-Bátori András, Gyulai-Nagy Szuzina, Juhász 326 Dániel, Kosztolányi Kata, Kovács 972 Márton, Kúsz Ágnes, Lajkó Kálmán, Lengyel Ádám, Maga Balázs, Nagy Kartal, Nagy-György Pál, Németh 777 Róbert, Osváth Tibor Attila, Pap Tibor, Porupsánszki István, Sal Kristóf, Sándor Krisztián, Schwarcz Tamás, Seress Dániel, Simon Kristóf, Szebellédi Márton, Tóth 199 Viktor, Wiandt Péter, Williams Kada.
4 pontot kapott:	Csabai Bence, Sütő Máté, Szajbély Zsigmond.
3 pontot kapott:	15 versenyző.
2 pontot kapott:	17 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.

A KöMaL 2014. márciusi matematika feladatai