A B. 4626. feladat (2014. április)

B. 4626. Igazoljuk, hogy $\displaystyle {(1+a)}^4 {(1+b)}^4 \ge 64ab {(a+b)}^2$ tetszőleges $\displaystyle a,b\ge 0$ számokra teljesül.

(6 pont)

A beküldési határidő 2014. május 12-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Írjuk fel a számtani és a mértani közepek közötti egyenlőtlenséget az $\displaystyle 1,ab, \frac{a+b}2, \frac{a+b}2$ számokra:

Ebből rendezés és negyedik hatványra emelés után kapjuk az állítást:

$\displaystyle (1+a)(1+b)=1+a+b+ab \ge 2\sqrt2 \root4\of{a} \root4\of{b} \sqrt{a+b}$

$\displaystyle (1+a)^4 (1+b)^4 \ge 64ab (a+b)^2.$

Egyenlőség akkor van, ha az $\displaystyle 1,ab, \frac{a+b}2$ számok, amelyeknek a közepeit (1)-ben felírtuk, egyenlők, azaz $\displaystyle 1=ab=\frac{a+b}2$. Ilyenkor az $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ számok számtani és mértani közepe is 1, ami csak úgy lehet, ha $\displaystyle a=b=1$.

Statisztika:

52 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Andi Gabriel Brojbeanu, Andó Angelika, Balogh Menyhért, Bereczki Zoltán, Cseh Kristóf, Csépai András, Fekete Panna, Forrás Bence, Gál Hanna, Geng Máté, Gyulai-Nagy Szuzina, Hansel Soma, Horeftos Leon, Hraboczki Attila Márton, Kovács 972 Márton, Kúsz Ágnes, Lajkó Kálmán, Maga Balázs, Nagy Kartal, Nagy-György Pál, Porupsánszki István, Schrettner Bálint, Schwarcz Tamás, Simkó Irén, Szebellédi Márton, Szegi Bogát, Tompa Tamás Lajos, Williams Kada.
5 pontot kapott:	Bereczki Ádám, Bodolai Előd, Dinev Georgi, Győrfi-Bátori András, Kocsis Júlia, Lengyel Ádám, Maglódi Ádám, Mócsy Miklós, Öreg Botond, Páli Petra, Sal Kristóf, Schefler Barna, Vu Mai Phuong.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.

A KöMaL 2014. áprilisi matematika feladatai